Упр.478 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Из бутыли, наполненной доверху глицерином, отлили 8 л. Затем долили бутыль водой и отлили 6 л смеси. После этого вновь долили бутыль водой. Определите вместимость бутыли, если известно, что в результате получили смесь, содержащую 68% глицерина.
2. Найдите координаты общих точек: а) прямой $$2x-y=-3$$ и параболы $$y=\frac{1}{2}x^2+4x+5$$; б) прямой $$2x+y=3$$ и окружности $$x^2+y^2=9$$.

а) Из уравнения прямой выразим $$y$$:

$$2x-y=-3$$
$$y=2x+3$$

Подставим это выражение в уравнение параболы:

$$2x+3=\frac12 x^2+4x+5$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac12 x^2+2x+2=0$$

Умножим на $$2$$:

$$x^2+4x+4=0$$

$$\left(x+2\right)^2=0$$

$$x=-2$$

Найдём $$y$$:

$$y=2\cdot(-2)+3=-1$$

Следовательно, общая точка: $$(-2;\,-1)$$.

б) Из уравнения прямой выразим $$y$$:

$$2x+y=3$$
$$y=3-2x$$

Подставим в уравнение окружности:

$$x^2+y^2=9$$
$$x^2+\left(3-2x\right)^2=9$$

Раскроем скобки:

$$x^2+9-12x+4x^2=9$$

$$5x^2-12x=0$$

$$x\left(5x-12\right)=0$$

Отсюда:

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{12}{5}$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

при $$x=0$$: $$y=3-2\cdot 0=3$$;

при $$x=\frac{12}{5}$$: $$y=3-2\cdot\frac{12}{5}=3-\frac{24}{5}=-\frac{9}{5}$$.

Значит, точки пересечения: $$\left(0;\,3\right)$$ и $$\left(\frac{12}{5};\,-\frac{9}{5}\right)$$.

Ответ

а) $$(-2;\,-1)$$; б) $$\left(0;\,3\right),\ \left(\frac{12}{5};\,-\frac{9}{5}\right)$$.