Упр.472 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 742. Найдите значение параметра a, при котором система уравнении x^2+y^2=9 и y-x=a имеет одно решение, имеет два решения, не имеет решений. При каком наименьшем по модулю значении параметра a система уравнений имеет одно решение?

Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$y-x=a,\quad y=x+a.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+(x+a)^2=9.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+x^2+2ax+a^2=9,$$

$$2x^2+2ax+a^2-9=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Чтобы система имела решения, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-9),$$

$$D=4a^2-8a^2+72=72-4a^2.$$

1) Система имеет два решения, если $$D>0$$:

$$72-4a^2>0,$$

$$a^2<18,$$

$$-3\sqrt{2}<a<3\sqrt{2}.$$

2) Система имеет одно решение, если $$D=0$$:

$$72-4a^2=0,$$

$$a^2=18,$$

$$a=\pm 3\sqrt{2}.$$

3) Система не имеет решений, если $$D<0$$:

$$72-4a^2<0,$$

$$a^2>18,$$

$$a<-3\sqrt{2}\ \text{или}\ a>3\sqrt{2}.$$

Наименьшее по модулю значение параметра, при котором система имеет одно решение, равно $$3\sqrt{2}$$.

Ответ

Одно решение при $$a=\pm 3\sqrt{2}$$; два решения при $$-3\sqrt{2}<a<3\sqrt{2}$$; решений нет при $$a<-3\sqrt{2}$$ и $$a>3\sqrt{2}$$. Наименьшее по модулю значение параметра: $$3\sqrt{2}$$.