Упр.463 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) 64x^2-32x+7?32x; в) 4m^2+4m+5?2;
б) x(2-3x)?0; г) 5(1-y^2)?5-2y.

Подробный ответ

а) $$64x^2-32x+7\le 32x$$
Перенесём всё в левую часть:
$$64x^2-64x+7\le 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-64)^2-4\cdot 64\cdot 7=4096-1792=2304$$
$$x_{1,2}=\frac{64\pm 48}{2\cdot 64}$$
$$x_1=\frac{16}{128}=\frac18,\qquad x_2=\frac{112}{128}=\frac78$$
Тогда
$$64\left(x-\frac18\right)\left(x-\frac78\right)\le 0$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, неравенство выполняется между корнями:
$$\frac18\le x\le \frac78$$
б) $$x(2-3x)\le 0$$
Преобразуем:
$$x(3x-2)\ge 0$$
Нули множителей: $$x=0$$ и $$x=\frac23$$.
Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:
$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge \frac23$$
в) $$4m^2+4m+5\ge 2$$
Перенесём 2 влево:
$$4m^2+4m+3\ge 0$$
Рассмотрим дискриминант:
$$D=4^2-4\cdot 4\cdot 3=16-48=-32$$
Так как $$D<0$$ и старший коэффициент положительный, то выражение всегда положительно.
Следовательно, неравенство верно при всех $$m\in \mathbb{R}$$.
г) $$5(1-y^2)\ge 5-2y$$
Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:
$$5-5y^2\ge 5-2y$$
$$5y^2-2y\le 0$$
Вынесем общий множитель:
$$y(5y-2)\le 0$$
Нули множителей: $$y=0$$ и $$y=\frac25$$.
Произведение не положительно между корнями:
$$0\le y\le \frac25$$