Упр.462 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 462. Найдите такие решения уравнения x^2-y^2=63, в которых x и y — целые числа.

Преобразуем уравнение:

$$x^2-y^2=63$$

$$ (x-y)(x+y)=63 $$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то числа $x-y$ и $x+y$ тоже целые и являются делителями числа $63$.

Разложим $63$ на пары множителей:

$$63=1\cdot 63=3\cdot 21=7\cdot 9$$

Рассмотрим положительные пары:

$$x-y=1,\quad x+y=63$$

$$ \begin{aligned} 2x&=64,\\ x&=32,\\ y&=31 \end{aligned} $$

$$x-y=3,\quad x+y=21$$

$$ \begin{aligned} 2x&=24,\\ x&=12,\\ y&=9 \end{aligned} $$

$$x-y=7,\quad x+y=9$$

$$ \begin{aligned} 2x&=16,\\ x&=8,\\ y&=1 \end{aligned} $$

Теперь учитываем отрицательные пары множителей, которые дают те же значения $x^2-y^2$:

$$x-y=-1,\quad x+y=-63 \Rightarrow (x,y)=(-32,-31)$$

$$x-y=-3,\quad x+y=-21 \Rightarrow (x,y)=(-12,-9)$$

$$x-y=-7,\quad x+y=-9 \Rightarrow (x,y)=(-8,-1)$$

Также возможны пары с перестановкой знаков:

$$x-y=-1,\quad x+y=63 \Rightarrow (x,y)=(32,-31)$$

$$x-y=1,\quad x+y=-63 \Rightarrow (x,y)=(-32,31)$$

$$x-y=-3,\quad x+y=21 \Rightarrow (x,y)=(12,-9)$$

$$x-y=3,\quad x+y=-21 \Rightarrow (x,y)=(-12,9)$$

$$x-y=-7,\quad x+y=9 \Rightarrow (x,y)=(8,-1)$$

$$x-y=7,\quad x+y=-9 \Rightarrow (x,y)=(-8,1)$$

Ответ

$(-32,-31)$; $(-32,31)$; $(32,-31)$; $(32,31)$; $(-12,-9)$; $(-12,9)$; $(12,-9)$; $(12,9)$; $(-8,-1)$; $(-8,1)$; $(8,-1)$; $(8,1)$.