Упр.462 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Благодаря применению в фермерском хозяйстве новых технологий урожайность гречихи возросла на 4 ц с 1 га. В результате было собрано не 147 ц, как в прошлом году, а на 3 ц больше, хотя под гречиху отвели на 1 га меньше. Какова была урожайность гречихи с 1 га в прошлом и текущем годах и какая площадь была отведена в эти годы в фермерском хозяйстве под гречиху?
2. Найдите такие решения уравнения $$x^2-y^2=63$$, в которых $$x$$ и $$y$$ — целые числа.

Преобразуем уравнение:

$$x^2-y^2=63$$

$$(x-y)(x+y)=63$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то числа $$x-y$$ и $$x+y$$ тоже целые и являются делителями числа $$63$$.

Разложим $$63$$ на пары множителей:

$$63=1\cdot 63=3\cdot 21=7\cdot 9$$

Рассмотрим положительные пары:

$$x-y=1,\quad x+y=63$$

$$\begin{aligned} 2x&=64,\\ x&=32,\\ y&=31 \end{aligned}$$

$$x-y=3,\quad x+y=21$$

$$\begin{aligned} 2x&=24,\\ x&=12,\\ y&=9 \end{aligned}$$

$$x-y=7,\quad x+y=9$$

$$\begin{aligned} 2x&=16,\\ x&=8,\\ y&=1 \end{aligned}$$

Теперь учитываем отрицательные пары множителей, которые дают те же значения $$x^2-y^2$$:

$$x-y=-1,\quad x+y=-63 \Rightarrow (x,y)=(-32,-31)$$

$$x-y=-3,\quad x+y=-21 \Rightarrow (x,y)=(-12,-9)$$

$$x-y=-7,\quad x+y=-9 \Rightarrow (x,y)=(-8,-1)$$

Также возможны пары с перестановкой знаков:

$$x-y=-1,\quad x+y=63 \Rightarrow (x,y)=(32,-31)$$

$$x-y=1,\quad x+y=-63 \Rightarrow (x,y)=(-32,31)$$

$$x-y=-3,\quad x+y=21 \Rightarrow (x,y)=(12,-9)$$

$$x-y=3,\quad x+y=-21 \Rightarrow (x,y)=(-12,9)$$

$$x-y=-7,\quad x+y=9 \Rightarrow (x,y)=(8,-1)$$

$$x-y=7,\quad x+y=-9 \Rightarrow (x,y)=(-8,1)$$

Ответ

$$(-32,-31)$$; $$(-32,31)$$; $$(32,-31)$$; $$(32,31)$$; $$(-12,-9)$$; $$(-12,9)$$; $$(12,-9)$$; $$(12,9)$$; $$(-8,-1)$$; $$(-8,1)$$; $$(8,-1)$$; $$(8,1)$$.