Упр.459 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x-1)(|y|+2)=-4;
б) (|x|+1)(y-2)=-4;
в) (|x|+1)(|y|+2)=4.

а) При $$y \ge 0$$ имеем $$|y|=y$$, а при $$y<0$$ — $$|y|=-y$$. Поэтому уравнение распадается на два случая:

$$ (x-1)(y+2)=-4 $$
и
$$ (x-1)(-y+2)=-4. $$

Из первого случая:

$$ xy+2x-y-2=-4 $$
$$ y(x-1)=-2x-2 $$
$$ y=-\frac{2x+2}{x-1}=-2-\frac{4}{x-1}. $$

Из второго случая:

$$ -xy+2x+y-2=-4 $$
$$ y(1-x)=-2x-2 $$
$$ y=\frac{2x+2}{x-1}=2+\frac{4}{x-1}. $$

Значит, график состоит из двух ветвей гиперболы:

$$ y=-2-\frac{4}{x-1}, \qquad y=2+\frac{4}{x-1}. $$

б) Аналогично, при $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, а при $$x<0$$ — $$|x|=-x$$. Тогда:

$$ (x+1)(y-2)=-4 $$
или
$$ (-x+1)(y-2)=-4. $$

Из первого случая:

$$ xy-2x+y-2=-4 $$
$$ y(x+1)=2x-2 $$
$$ y=\frac{2x-2}{x+1}=2-\frac{4}{x+1}. $$

Из второго случая:

$$ -xy+2x+y-2=-4 $$
$$ y(1-x)=2x-2 $$
$$ y=\frac{2-2x}{x+1}=2-\frac{4}{x+1}. $$

Следовательно, график задаётся уравнением

$$ y=2-\frac{4}{x+1}, \qquad x \ne -1. $$

в) При $$x \ge 0,\ y \ge 0$$ получаем:

$$ (x+1)(y+2)=4 $$
$$ xy+2x+y+2=4 $$
$$ y(x+1)=2-2x $$
$$ y=\frac{2-2x}{x+1}=2-\frac{4}{x+1}. $$

При $$x \ge 0,\ y<0$$:

$$ (x+1)(-y+2)=4 $$
$$ -xy+2x-y+2=4 $$
$$ y(1-x)=2x-2 $$
$$ y=\frac{2x-2}{x+1}=-2+\frac{4}{x+1}. $$

При $$x<0,\ y \ge 0$$:

$$ (-x+1)(y+2)=4 $$
$$ -xy+2x+y+2=4 $$
$$ y(1-x)=2-2x $$
$$ y=2. $$

Но это возможно только при $$x=0$$, поэтому получаем точку $$\,(0,2)\,$$.

При $$x<0,\ y<0$$:

$$ (-x+1)(-y+2)=4 $$
$$ xy-2x+2y-2=4 $$
$$ y(x+2)=2x+6 $$
$$ y=\frac{2x+6}{x+2}=2+\frac{2}{x+2}. $$

Удобнее записать итог по четвертям: график состоит из четырёх дуг, симметричных относительно осей координат, и проходит через точки $$(-1,0)$$, $$ (1,0)$$, $$ (0,2)$$, $$ (0,-2)$$.

Ответ

а) $$y=-2-\frac{4}{x-1}$$ и $$y=2+\frac{4}{x-1}$$;
б) $$y=2-\frac{4}{x+1}$$, $$x\ne -1$$;
в) график состоит из четырёх симметричных дуг и проходит через точки $$(-1,0)$$, $$ (1,0)$$, $$ (0,2)$$, $$ (0,-2)$$.