Упр.452 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 452. Найдите такие решения уравнения y^2-x^2=123, в которых значения х и у — натуральные числа.

Преобразуем уравнение:

$$y^2-x^2=123$$

$$\left(y-x\right)\left(y+x\right)=123$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то $$y>x$$, значит оба множителя $$y-x$$ и $$y+x$$ — натуральные положительные числа. Разложим число $$123$$ на множители:

$$123=1\cdot 123=3\cdot 41$$

Рассмотрим возможные пары множителей.

1. $$y-x=1,\quad y+x=123$$

   Сложим уравнения:

   $$2y=124,\quad y=62$$

   Тогда

   $$x=62-1=61$$

2. $$y-x=3,\quad y+x=41$$

   Сложим уравнения:

   $$2y=44,\quad y=22$$

   Тогда

   $$x=22-3=19$$

Других разложений числа $$123$$ на два натуральных множителя нет.

Ответ

$$\left(61;62\right),\ \left(19;22\right)$$