Упр.447 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (a-2b)/(x^2-4bx)=1/(a+2b);
б) (1+bx)/(a^2-x^2)=1/(a-x).

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{a-2b}{x^2-4bx}=\frac{1}{a+2b}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$\left(a-2b\right)\left(a+2b\right)=x^2-4bx.$$

Тогда

$$a^2-4b^2=x^2-4bx,$$

$$x^2-4bx+4b^2-a^2=0.$$

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$D=(4b)^2-4\left(4b^2-a^2\right)=16b^2-16b^2+4a^2=4a^2.$$

Тогда

$$x=\frac{4b\pm 2a}{2}=2b\pm a.$$

Проверим особый случай: если $$a=\pm 2b,$$ то правая часть исходного уравнения не определена, а также полученные значения не дают корней. Значит, корни существуют только при $$a\ne \pm 2b.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{1+bx}{a^2-x^2}=\frac{1}{a-x}.$$

Так как $$a^2-x^2=(a-x)(a+x),$$ то при $$a\ne x$$ получаем:

$$\frac{1+bx}{(a-x)(a+x)}=\frac{1}{a-x}.$$

Умножим обе части на $$a-x$$:

$$\frac{1+bx}{a+x}=1,$$

$$1+bx=a+x,$$

$$\left(b-1\right)x=a-1,$$

$$x=\frac{a-1}{b-1}.$$

Это возможно при $$b\ne 1.$$ Кроме того, нужно учесть ОДЗ: $$x\ne a$$ и $$x\ne -a.$$

Если $$b=1,$$ то из уравнения получается $$1+x=a+x,$$ то есть $$1=a.$$

Следовательно:

при $$b\ne 1$$ и $$x=\frac{a-1}{b-1}$$ получаем решение, если оно не нарушает ОДЗ;
при $$b=1$$ и $$a\ne 1$$ корней нет;
при $$a=b=1$$ уравнение обращается в тождество на допустимых значениях $$x\ne 1$$ и $$x\ne -1.$$