Упр.446 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 446. Решите уравнение с параметром a: (2a-3)/(x+a)-(2a-3)/(a-x)=2a/3.

ОДЗ: $$x+a \ne 0,$$ $$a-x \ne 0,$$ то есть $$x \ne -a,$$ $$x \ne a.$$

Уравнение:

$$\frac{2a+3}{x+a}-\frac{2a-3}{a-x}=\frac{2a}{3}.$$

Так как $$a-x=-(x-a),$$ то

$$\frac{2a+3}{x+a}+\frac{2a-3}{x-a}=\frac{2a}{3}.$$

Умножим обе части на $$3(x+a)(x-a):$$

$$3(2a+3)(x-a)+3(2a-3)(x+a)=2a(x^2-a^2).$$

Раскроем скобки:

$$6ax-6a^2+9x-9a+6ax+6a^2-9x-9a=2ax^2-2a^3.$$

Получаем:

$$12ax-18a=2ax^2-2a^3.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2ax^2-12ax+18a-2a^3=0.$$

Если $$a=0,$$ то исходное уравнение принимает вид

$$\frac{3}{x}-\frac{-3}{-x}=0,$$

то есть тождество $$0=0$$ при всех $$x \ne 0.$$

Если $$a \ne 0,$$ разделим уравнение на $$2a$$:

$$x^2-6x+9-a^2=0.$$

Тогда

$$D=36-4(9-a^2)=4a^2,$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm 2a}{2}=3\pm a.$$

Проверим ОДЗ: при $$x=3-a$$ и $$x=3+a$$ значения $$x=\pm a$$ возможны только при особых значениях параметра.

1) Если $$a\ne 0,\ \pm \frac32,$$ то оба корня подходят: $$x=3-a$$ и $$x=3+a.$$

2) Если $$a=0,$$ то решение: $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

3) Если $$a=\frac32,$$ то корни: $$x=\frac32$$ и $$x=\frac92,$$ но $$x=\frac32$$ не подходит, так как нарушает ОДЗ. Остаётся $$x=\frac92.$$

4) Если $$a=-\frac32,$$ то корни: $$x=\frac92$$ и $$x=\frac32,$$ но $$x=\frac32$$ не подходит. Остаётся $$x=\frac92.$$

Ответ

Если $$a=0,$$ то $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$

если $$a=\pm \frac32,$$ то $$x=\frac92;$$

если $$a\ne 0,\ \pm \frac32,$$ то $$x=3-a$$ и $$x=3+a.$$