Упр.445 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите область определения функции:
   а) $$y=\sqrt{x^3-4x^2+3x-12}$$;
   б) $$y=\sqrt{x^3+x-2}$$.
2. Решите относительно $$x$$ уравнение $$x^3=(a-1)x^2+a^2$$.

Перенесём всё в левую часть:

$$x^3-(a-1)x^2-a^2=0.$$

Проверим, что $$x=a$$ является корнем:

$$a^3-(a-1)a^2-a^2=a^3-a^3+a^2-a^2=0.$$

Значит, многочлен делится на $$x-a$$:

$$x^3-(a-1)x^2-a^2=(x-a)(x^2+x+a).$$

Тогда уравнение равносильно системе множителей:

$$(x-a)(x^2+x+a)=0.$$

Отсюда

$$x=a$$

или

$$x^2+x+a=0.$$

Для квадратного уравнения найдём дискриминант:

$$D=1-4a.$$

Если $$D>0$$, то есть $$a<\frac14$$, получаем два корня:

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4a}}{2}.$$

Если $$D=0$$, то есть $$a=\frac14$$, имеем один корень:

$$x=-\frac12.$$

Если $$D<0$$, то есть $$a>\frac14$$, квадратное уравнение действительных корней не имеет, и остаётся только корень $$x=a$$.

Ответ

Если $$a<\frac14$$, то $$x=a,\ \frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}$$;

если $$a=\frac14$$, то $$x=\frac14,\ -\frac12$$;

если $$a>\frac14$$, то $$x=a$$.