Упр.444 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x^4-(a^2+4)x^2+4a^2=0; б) 8x^4-ax^2=8x^2-a.

а) Пусть $$y=x^2.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$y^2-(a^2+4)y+4a^2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a^2+4)^2-16a^2=a^4-8a^2+16=(a^2-4)^2.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{a^2+4\pm(a^2-4)}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=4,\qquad y_2=a^2.$$

Значит,

$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2,$$

$$x^2=a^2 \Rightarrow x=\pm a.$$

Если $$a\neq 0,$$ то корни $$x=\pm a$$ и $$x=\pm 2$$ могут совпадать при $$a=\pm 2.$$ Поэтому множество корней зависит от значения параметра:

• при $$a\neq 0,\ \pm 2$$: $$x=\pm a,\ \pm 2$$;
• при $$a=0$$: $$x=0,\ \pm 2$$;
• при $$a=2$$ или $$a=-2$$: $$x=\pm 2.$$

б) Пусть $$y=x^2.$$ Тогда

$$8y^2-ay=8y-a,$$

или

$$8y^2-(a+8)y+a=0.$$

Дискриминант:

$$D=(a+8)^2-32a=a^2-16a+64=(a-8)^2.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{a+8\pm(a-8)}{16}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\qquad y_2=\frac{a}{8}.$$

Следовательно,

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$

$$x^2=\frac{a}{8} \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{a}{8}},$$

причём второе уравнение даёт действительные корни только при $$a\ge 0.$$

Итак:

• при $$a>0,\ a\neq 8$$: $$x=\pm 1,\ \pm \sqrt{\frac{a}{8}}$$;
• при $$a=0$$: $$x=\pm 1$$;
• при $$a=8$$: $$x=\pm 1.$$

Ответ

а) $$a\neq 0,\pm 2:\ x=\pm a,\ \pm 2;\quad a=0:\ x=0,\ \pm 2;\quad a=\pm 2:\ x=\pm 2.$$

б) $$a>0,\ a\neq 8:\ x=\pm 1,\ \pm \sqrt{\frac{a}{8}};\quad a=0:\ x=\pm 1;\quad a=8:\ x=\pm 1.$$