Упр.441 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) относительно x; б) относительно y.

а) Относительно $$x$$:

$$xy^2-x=4y+4$$
$$x(y^2-1)=4(y+1)$$
$$x(y-1)(y+1)=4(y+1)$$

Если $$y\neq -1$$, то можно сократить на $$y+1$$:

$$x(y-1)=4$$
$$x=\frac{4}{y-1}$$

Проверим особые значения:

• при $$y=1$$ получаем $$0=8$$, корней нет;
• при $$y=-1$$ получаем $$0=0$$, подходит любое $$x$$.

б) Относительно $$y$$:

$$xy^2-4y-(x+4)=0 $$
Это квадратное уравнение относительно $$y$$.

Найдём дискриминант:

$$D=(-4)^2-4\cdot x\cdot (-(x+4))$$
$$D=16+4x(x+4)=4(x^2+4x+4)=4(x+2)^2$$

Тогда

$$y=\frac{4\pm \sqrt{4(x+2)^2}}{2x}=\frac{4\pm 2(x+2)}{2x}$$

Получаем корни:

$$y_1=\frac{4-2(x+2)}{2x}=\frac{-2x}{2x}=-1$$
$$y_2=\frac{4+2(x+2)}{2x}=\frac{2x+8}{2x}=\frac{x+4}{x}$$

Если $$x=0$$, то исходное уравнение даёт $$-4y-4=0$$, откуда $$y=-1$$.

Если $$x=-2$$, то второй корень совпадает с первым: $$y=-1$$.

Ответ

а) $$x=\frac{4}{y-1}$$ при $$y\neq \pm 1$$; при $$y=-1$$ — любое $$x$$, при $$y=1$$ корней нет.
б) $$y=-1$$ и $$y=\frac{x+4}{x}$$; при $$x=0$$ или $$x=-2$$ остаётся только $$y=-1$$.