Упр.438 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) не имеет корней?

Подробный ответ

Приведём уравнение к стандартному виду:

$$ax^2+2ax=2bx+4b$$

$$ax^2+(2a-2b)x-4b=0.$$

Это квадратное уравнение, где

$$A=a,\quad B=2a-2b,\quad C=-4b.$$

Найдём дискриминант:

$$D=B^2-4AC=(2a-2b)^2-4\cdot a\cdot(-4b).$$

$$D=4a^2-8ab+4b^2+16ab=4a^2+8ab+4b^2=(2a+2b)^2.$$

Так как $$D=(2a+2b)^2\ge 0,$$ то уравнение всегда имеет действительные корни, а число корней зависит от значения дискриминанта и коэффициента при $$x^2$$.

а) Один корень. Это возможно, когда $$D=0$$:

$$ (2a+2b)^2=0 \;\Rightarrow\; a=-b.$$

При этом, чтобы уравнение оставалось квадратным, нужно $$a\ne 0$$. Если $$a=0,$$ то тогда и $$b=0,$$ и уравнение превращается в тождество $$0=0,$$ то есть имеет бесконечно много корней, а не один.

Значит, один корень при

$$a=-b,\quad a\ne 0.$$

б) Два корня. Это возможно, когда $$D>0$$ и $$a\ne 0$$:

$$ (2a+2b)^2>0 \;\Rightarrow\; a\ne -b.$$

Следовательно, уравнение имеет два корня при

$$a\ne 0,\quad a\ne -b.$$

в) Не имеет корней. Для квадратного уравнения это невозможно, так как

$$D=(2a+2b)^2\ge 0.$$

Если же $$a=0,$$ то уравнение становится линейным:

$$-2bx-4b=0,$$

и при $$b\ne 0$$ имеет один корень, а при $$b=0$$ — бесконечно много корней.

Значит, значений $$a$$ и $$b,$$ при которых уравнение не имеет корней, нет.