Упр.437 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите решения системы уравнений:
   а) $$\begin{cases}xy=-2,\\(x-y)^2+x+y=10;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}(x^2+y^2)(x^3+y^3)=32,\\x+y=2.\end{cases}$$
2. Найдите все натуральные значения параметра $$c$$, при которых имеет два корня уравнение:
   а) $$cx^2+1=x^2-8x-c;$$
   б) $$4x-c^2+1=x^2-2x-1.$$

а) Приведём уравнение к стандартному виду:

$$cx^2+1=x^2-8x-c$$

$$(c-1)x^2+8x+c+1=0$$

Чтобы уравнение имело два корня, нужно:

$$D>0,\quad c-1\ne 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=8^2-4(c-1)(c+1)=64-4(c^2-1)=68-4c^2.$$

Тогда

$$68-4c^2>0,$$

$$c^2<17.$$

Так как $$c$$ — натуральное число, получаем:

$$c=1,2,3,4.$$

Но при $$c=1$$ коэффициент при $$x^2$$ равен нулю, и уравнение становится линейным, значит два корня оно не имеет. Поэтому:

$$c=2,3,4.$$

б) Приведём уравнение к стандартному виду:

$$4x-c^2+1=x^2-2x-1$$

$$x^2-6x+c^2-2=0.$$

Для двух корней нужно:

$$D>0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=6^2-4(c^2-2)=36-4c^2+8=44-4c^2.$$

Тогда

$$44-4c^2>0,$$

$$c^2<11.$$

При натуральных $$c$$ получаем:

$$c=1,2,3.$$

Ответ

а) $$2,\,3,\,4$$

б) $$1,\,2,\,3$$