Упр.436 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 436. При каких значениях a каждое решение совокупности [5x^2-14x-3?0, |x-2,5|?1,5] является решением неравенства |x|?a?

Решим каждое неравенство совокупности.

$$5x^2-14x-3\le 0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-14)^2-4\cdot 5\cdot(-3)=196+60=256,$$
$$x_{1,2}=\frac{14\pm 16}{2\cdot 5}.$$

$$x_1=\frac{14-16}{10}=-0{,}2,\qquad x_2=\frac{14+16}{10}=3.$$

Тогда

$$5x^2-14x-3\le 0 \iff -0{,}2\le x\le 3.$$

Второе неравенство:

$$|x-2{,}5|\le 1{,}5$$

$$-1{,}5\le x-2{,}5\le 1{,}5,$$
$$1\le x\le 4.$$

Совокупность решений этих неравенств:

$$[-0{,}2;3]\cup[1;4]=[-0{,}2;4].$$

Чтобы каждое решение совокупности было решением неравенства $$|x|\le a,$$ нужно, чтобы все числа из отрезка $$[-0{,}2;4]$$ удовлетворяли этому неравенству. Максимальное значение $$|x|$$ на этом отрезке равно $$4$$, значит

$$a\ge 4.$$

Ответ

$$a\in[4;+\infty).$$