Упр.434 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x^2-7x+12)/(|x|-5) > 0; б) (x^2-7x-8)/|x-6| < 0; в) (|x-5|+x)/(x+3) > 1; г) (|2-x|+5x)/(x+2) < 2.

а) $$\frac{x^2-7x+12}{|x|-5}>0$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Тогда

$$\frac{(x-3)(x-4)}{|x|-5}>0,\qquad |x|\ne 5.$$

Рассмотрим случаи:

1) $$x\ge 0,$$ тогда $$|x|=x$$ и

$$\frac{(x-3)(x-4)}{x-5}>0.$$

По знакам получаем:

$$3<x<4 \quad \text{или} \quad x>5.$$

2) $$x<0,$$ тогда $$|x|=-x$$ и

$$\frac{(x-3)(x-4)}{-x-5}>0.$$

Так как $$-x-5=-(x+5),$$ имеем

$$\frac{(x-3)(x-4)}{x+5}<0.$$

Отсюда

$$x<-5.$$

Итак,

$$x\in(-\infty;-5)\cup(3;4)\cup(5;+\infty).$$

б) $$\frac{x^2-7x-8}{|x-6|}<0$$

Разложим числитель:

$$x^2-7x-8=(x+1)(x-8).$$

Так как $$|x-6|>0$$ при $$x\ne 6,$$ знак дроби определяется числителем. Нужно, чтобы

$$x^2-7x-8<0,\qquad x\ne 6.$$

Решаем неравенство:

$$ (x+1)(x-8)<0 \Rightarrow -1<x<8.$$

Исключаем $$x=6$$:

$$x\in(-1;6)\cup(6;8).$$

в) $$\frac{|x-5|+x}{x+3}>1$$

Перенесём 1 в левую часть:

$$\frac{|x-5|+x-(x+3)}{x+3}>0,$$

то есть

$$\frac{|x-5|-3}{x+3}>0.$$

Рассмотрим случаи.

1) $$x\ge 5,$$ тогда $$|x-5|=x-5,$$ и

$$\frac{x-8}{x+3}>0.$$

При $$x\ge 5$$ получаем $$x>8.$$

2) $$x<5,$$ тогда $$|x-5|=5-x,$$ и

$$\frac{2-x}{x+3}>0.$$

Отсюда

$$-3<x<2.$$

Итак,

$$x\in(-3;2)\cup(8;+\infty).$$

г) $$\frac{|2-x|+5x}{x+2}<2$$

Перенесём 2 в левую часть:

$$\frac{|2-x|+5x-2(x+2)}{x+2}<0,$$

то есть

$$\frac{|x-2|+3x-4}{x+2}<0,\qquad x\ne -2.$$

Рассмотрим случаи.

1) $$x\ge 2,$$ тогда $$|x-2|=x-2,$$ и

$$\frac{4x-6}{x+2}<0.$$

Так как $$x\ge 2,$$ знаменатель положителен, значит нужно

$$4x-6<0 \Rightarrow x<\frac32,$$

что невозможно при $$x\ge 2.$$

Решений нет.

2) $$x<2,$$ тогда $$|x-2|=2-x,$$ и

$$\frac{2x-2}{x+2}<0.$$

Отсюда

$$-2<x<1.$$

Следовательно,

$$x\in(-2;1).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-5)\cup(3;4)\cup(5;+\infty)$$; б) $$(-1;6)\cup(6;8)$$; в) $$(-3;2)\cup(8;+\infty)$$; г) $$(-2;1)$$.