Упр.430 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x^4-6|x^2-1|-6=0, принадлежащие промежутку (—4; 4);
б) x^4-10|x^2-2|-11=0, принадлежащие промежутку (—6; 6).

а) Рассмотрим два случая.

1) Если $$|x|\ge 1,$$ то $$|x^2-1|=x^2-1.$$ Тогда

$$ x^4-6(x^2-1)-6=0 $$

$$ x^4-6x^2=0 $$

$$ x^2(x^2-6)=0 $$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=\pm\sqrt6.$$

Но при $$|x|\ge 1$$ значение $$x=0$$ не подходит, поэтому остаются $$x=\pm\sqrt6.$$

2) Если $$|x|<1,$$ то $$|x^2-1|=1-x^2.$$ Тогда

$$ x^4-6(1-x^2)-6=0 $$

$$ x^4+6x^2-12=0 $$

Положим $$t=x^2.$$ Получаем

$$ t^2+6t-12=0 $$

$$ D=6^2+4\cdot 12=84 $$

$$ t=\frac{-6\pm\sqrt{84}}{2}=-3\pm\sqrt{21} $$

Из них подходит только $$t=-3+\sqrt{21},$$ но $$-3+\sqrt{21}>1,$$ значит условию $$|x|<1$$ это не соответствует.

Следовательно, в пункте а) корни: $$x=-\sqrt6,\ \sqrt6.$$

б) Рассмотрим два случая.

1) Если $$|x|\ge \sqrt2,$$ то $$|x^2-2|=x^2-2.$$ Тогда

$$ x^4-10(x^2-2)-11=0 $$

$$ x^4-10x^2+9=0 $$

Положим $$t=x^2.$$ Получаем

$$ t^2-10t+9=0 $$

$$ D=10^2-4\cdot 9=64 $$

$$ t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2} $$

$$ t_1=1,\quad t_2=9 $$

Тогда

$$ x=\pm 1,\quad x=\pm 3 $$

Из условия $$|x|\ge \sqrt2$$ подходят только $$x=\pm 3.$$

2) Если $$|x|<\sqrt2,$$ то $$|x^2-2|=2-x^2.$$ Тогда

$$ x^4-10(2-x^2)-11=0 $$

$$ x^4+10x^2-31=0 $$

Положим $$t=x^2.$$ Получаем

$$ t^2+10t-31=0 $$

$$ D=10^2+4\cdot 31=224 $$

$$ t=\frac{-10\pm\sqrt{224}}{2}=-5\pm 2\sqrt{14} $$

Подходит только $$t=-5+2\sqrt{14},$$ но $$-5+2\sqrt{14}>2,$$ значит условию $$|x|<\sqrt2$$ это не соответствует.

Следовательно, в пункте б) корни: $$x=-3,\ 3.$$

Ответ

а) $$-\sqrt6,\ \sqrt6$$; б) $$-3,\ 3$$.