Упр.430 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Найдите решения системы уравнений:
а) $$\begin{cases}2x^2+y^2=9,\\x^2-y^2=3;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}3x^2-2y^2=1,\\2x^2-y^2=1;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x^2-3y^2-y=-6,\\2x^2-3y^2=-4;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}2x^2+xy=16,\\3x^2+xy-x=18.\end{cases}$$ - Найдите корни уравнения:
а) $$x^4-6\lvert x^2-1\rvert-6=0$$, принадлежащие промежутку $$(-4;4)$$;
б) $$x^4-10\lvert x^2-2\rvert-11=0$$, принадлежащие промежутку $$(-6;6)$$.
а) Рассмотрим два случая.
1) Если $$|x|\ge 1,$$ то $$|x^2-1|=x^2-1.$$ Тогда
$$x^4-6(x^2-1)-6=0$$
$$x^4-6x^2=0$$
$$x^2(x^2-6)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=\pm\sqrt6.$$
Но при $$|x|\ge 1$$ значение $$x=0$$ не подходит, поэтому остаются $$x=\pm\sqrt6.$$
2) Если $$|x|<1,$$ то $$|x^2-1|=1-x^2.$$ Тогда
$$x^4-6(1-x^2)-6=0$$
$$x^4+6x^2-12=0$$
Положим $$t=x^2.$$ Получаем
$$t^2+6t-12=0$$
$$D=6^2+4\cdot 12=84$$
$$t=\frac{-6\pm\sqrt{84}}{2}=-3\pm\sqrt{21}$$
Из них подходит только $$t=-3+\sqrt{21},$$ но $$-3+\sqrt{21}>1,$$ значит условию $$|x|<1$$ это не соответствует.
Следовательно, в пункте а) корни: $$x=-\sqrt6,\ \sqrt6.$$
б) Рассмотрим два случая.
1) Если $$|x|\ge \sqrt2,$$ то $$|x^2-2|=x^2-2.$$ Тогда
$$x^4-10(x^2-2)-11=0$$
$$x^4-10x^2+9=0$$
Положим $$t=x^2.$$ Получаем
$$t^2-10t+9=0$$
$$D=10^2-4\cdot 9=64$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=9$$
Тогда
$$x=\pm 1,\quad x=\pm 3$$
Из условия $$|x|\ge \sqrt2$$ подходят только $$x=\pm 3.$$
2) Если $$|x|<\sqrt2,$$ то $$|x^2-2|=2-x^2.$$ Тогда
$$x^4-10(2-x^2)-11=0$$
$$x^4+10x^2-31=0$$
Положим $$t=x^2.$$ Получаем
$$t^2+10t-31=0$$
$$D=10^2+4\cdot 31=224$$
$$t=\frac{-10\pm\sqrt{224}}{2}=-5\pm 2\sqrt{14}$$
Подходит только $$t=-5+2\sqrt{14},$$ но $$-5+2\sqrt{14}>2,$$ значит условию $$|x|<\sqrt2$$ это не соответствует.
Следовательно, в пункте б) корни: $$x=-3,\ 3.$$
Ответ
а) $$-\sqrt6,\ \sqrt6$$; б) $$-3,\ 3$$.
