Упр.429 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) y=x^2-5|x|+6 и y=|x-6|; б) y=|x^2+3x-10| и y=x^2-10.

а) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2-5|x|+6$$ и $$y=|x-6|.$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$x \le 0,$$ то $$|x|=-x,$$ $$|x-6|=6-x.$$ Тогда

$$ x^2+5x+6=6-x $$

$$ x^2+6x=0 $$

$$ x(x+6)=0 $$

Отсюда $$x=-6$$ или $$x=0.$$

Найдём ординаты:

$$ y=|x-6| $$

При $$x=-6$$: $$y=|-12|=12.$$
При $$x=0$$: $$y=|-6|=6.$$

Получаем точки $$(-6; 12)$$ и $$ (0; 6).$$

2) Если $$0<x\le 6,$$ то $$|x|=x,$$ $$|x-6|=6-x.$$ Тогда

$$ x^2-5x+6=6-x $$

$$ x^2-4x=0 $$

$$ x(x-4)=0 $$

Отсюда $$x=4$$ (значение $$x=0$$ уже учтено). Тогда

$$ y=|4-6|=2. $$

Получаем точку $$ (4; 2).$$

3) Если $$x>6,$$ то $$|x|=x,$$ $$|x-6|=x-6.$$ Тогда

$$ x^2-5x+6=x-6 $$

$$ x^2-6x+12=0. $$

Дискриминант:

$$ D=36-48=-12<0. $$

Решений нет.

б) Найдём точки пересечения графиков $$y=|x^2+3x-10|$$ и $$y=x^2-10.$$

Так как $$|x^2+3x-10|\ge 0,$$ то для пересечения должно быть $$x^2-10\ge 0,$$ то есть

$$ x\le -\sqrt{10} \quad \text{или} \quad x\ge \sqrt{10}. $$

Решим уравнение

$$ |x^2+3x-10|=x^2-10. $$

1) Если $$x^2+3x-10\ge 0,$$ то

$$ x^2+3x-10=x^2-10 $$

$$ 3x=0,\quad x=0. $$

Но при $$x=0$$ имеем $$x^2-10=-10<0,$$ значит, это не подходит.

2) Если $$x^2+3x-10<0,$$ то

$$ -(x^2+3x-10)=x^2-10 $$

$$ -x^2-3x+10=x^2-10 $$

$$ 2x^2+3x-20=0. $$

$$ D=3^2-4\cdot 2\cdot(-20)=9+160=169. $$

$$ x=\frac{-3\pm 13}{4} $$

$$ x_1=-4,\quad x_2=\frac52. $$

Проверим значения функции $$y=x^2-10$$:

при $$x=-4$$: $$y=16-10=6;$$
при $$x=\frac52$$: $$y=\frac{25}{4}-10=-\frac{15}{4},$$ что не подходит, так как $$y<0.$$

Значит, подходит только точка $$(-4; 6).$$

Ответ

а) $$(-6; 12),\ (0; 6),\ (4; 2);$$ б) $$(-4; 6).$$