Упр.427 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) 6x^2-7|x|-3=0; в) x|x-6|+7=0;
б) x^2-18|x-2|-4=0; г) x|13-x|-22=0.

Подробный ответ

а) $$6x^2-7|x|-3=0.$$
Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда $$x^2=t^2,$$ и уравнение принимает вид
$$6t^2-7t-3=0.$$
$$D=49+72=121,$$
$$t=\frac{7\pm 11}{12}.$$
Получаем $$t_1=\frac{18}{12}=\frac32,\quad t_2=\frac{-4}{12}=-\frac13.$$
Так как $$t\ge 0,$$ то $$t=\frac32.$$ Следовательно,
$$|x|=\frac32 \Rightarrow x=\pm \frac32.$$
б) $$x^2-18|x-2|-4=0.$$
Рассмотрим случаи.
1) $$x\ge 2$$
$$x^2-18(x-2)-4=0,$$
$$x^2-18x+32=0.$$
$$D=18^2-4\cdot 32=196,$$
$$x=\frac{18\pm 14}{2}.$$
$$x_1=2,\quad x_2=16.$$
Оба корня подходят.
2) $$x<2$$
$$x^2-18(2-x)-4=0,$$
$$x^2+18x-40=0.$$
$$D=18^2+4\cdot 40=484,$$
$$x=\frac{-18\pm 22}{2}.$$
$$x_1=-20,\quad x_2=2.$$
Так как здесь нужно $$x<2,$$ подходит только $$x=-20.$$
в) $$x|x-6|+7=0.$$
Рассмотрим случаи.
1) $$x\ge 6$$
$$x(x-6)+7=0,$$
$$x^2-6x+7=0.$$
$$D=36-28=8,$$
$$x=\frac{6\pm \sqrt8}{2}=3\pm \sqrt2.$$
Оба корня меньше $$6,$$ поэтому в этом случае решений нет.
2) $$x<6$$
$$x(6-x)+7=0,$$
$$x^2-6x-7=0.$$
$$D=36+28=64,$$
$$x=\frac{6\pm 8}{2}.$$
$$x_1=-1,\quad x_2=7.$$
По условию $$x<6,$$ подходит только $$x=-1.$$
г) $$x|13-x|-22=0.$$
Рассмотрим случаи.
1) $$x\le 13$$
$$x(13-x)-22=0,$$
$$x^2-13x+22=0.$$
$$D=169-88=81,$$
$$x=\frac{13\pm 9}{2}.$$
$$x_1=2,\quad x_2=11.$$
Оба корня подходят.
2) $$x>13$$
$$x(x-13)-22=0,$$
$$x^2-13x-22=0.$$
$$D=169+88=257,$$
$$x=\frac{13\pm \sqrt{257}}{2}.$$
Из них условию $$x>13$$ удовлетворяет только
$$x=\frac{13+\sqrt{257}}{2}.$$