Упр.424 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (x^3-2x^2+5x-10)/(3-2x) > 0; в) (x^4-2x^3-8x+16)/x^3?0;
б) (x^3-x^2+x-6)/(18x-27) < 0; г) (x^4-10x^2+24)/(x^2-3) < 0.

Подробный ответ

а)

$$ \frac{x^3-2x^2+5x-10}{3-2x}>0 $$
$$ x^3-2x^2+5x-10=x^2(x-2)+5(x-2)=(x^2+5)(x-2) $$
Тогда
$$ \frac{(x^2+5)(x-2)}{3-2x}>0 $$
Так как $$3-2x=-(2x-3),$$ получаем
$$ \frac{(x^2+5)(x-2)}{2x-3}<0 $$ Поскольку $$x^2+5>0$$ при всех $$x,$$ остаётся решить
$$ \frac{x-2}{2x-3}<0 $$ Критические точки: $$x=\frac32$$ и $$x=2.$$ Знак дроби отрицателен на промежутке $$ \frac32<x<2. $$

б)

$$ \frac{x^3-x^2+x-6}{18x-27}<0 $$ $$ x^3-x^2+x-6=(x-2)(x^2+x+3) $$ $$ 18x-27=9(2x-3) $$ Тогда $$ \frac{(x-2)(x^2+x+3)}{9(2x-3)}<0 $$ Так как $$x^2+x+3>0$$ при всех $$x,$$ получаем
$$ \frac{x-2}{2x-3}<0 $$ Отсюда $$ \frac32<x<2. $$

в)

$$ \frac{x^4-2x^3-8x+16}{x^3}\ge 0 $$
$$ x^4-2x^3-8x+16=x^3(x-2)-8(x-2)=(x^3-8)(x-2) $$
$$ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) $$
Следовательно,
$$ \frac{(x-2)^2(x^2+2x+4)}{x^3}\ge 0 $$
Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x,$$ а $$x\ne 0,$$ знак дроби определяется знаком $$x^3.$$ Числитель неотрицателен и равен нулю при $$x=2.$$ Поэтому
$$ x>0,\quad x\ne 0 $$
и дополнительно $$x=2.$$ В итоге
$$ x\in(0;+\infty). $$

г)

$$ \frac{x^4-10x^2+24}{x^2-3}<0 $$ Разложим числитель: $$ x^4-10x^2+24=(x^2-4)(x^2-6)=(x-2)(x+2)(x-\sqrt6)(x+\sqrt6) $$ Знаменатель: $$ x^2-3=(x-\sqrt3)(x+\sqrt3) $$ Тогда $$ \frac{(x-2)(x+2)(x-\sqrt6)(x+\sqrt6)}{(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)}<0 $$ Критические точки: $$ -\sqrt6,\ -\sqrt3,\ \sqrt3,\ \sqrt6. $$ По таблице знаков получаем $$ x\in(-\sqrt6;-2)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(2;\sqrt6). $$