Упр.423 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x^3+4x-5)/(x-3)^2 < 0; б) 7/(x^2-5x+6)+1 < 9/(3-x).

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^3+4x-5}{(x-3)^2}<0.$$

Разложим числитель на множители:

$$x^3+4x-5=(x-1)(x^2+x+5).$$

Тогда

$$\frac{(x-1)(x^2+x+5)}{(x-3)^2}<0.$$

Так как $$x^2+x+5>0$$ при любых $$x$$, а $$ (x-3)^2>0 $$ при $$x\ne 3$$, знак дроби определяется только множителем $$x-1$$. Поэтому

$$x-1<0,\quad x\ne 3.$$

Получаем $$x<1$$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно $$0$$.

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{7}{x^2-5x+6}+1<\frac{9}{3-x}.$$

Разложим знаменатель:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),\qquad \frac{9}{3-x}=-\frac{9}{x-3}.$$

Тогда

$$\frac{7}{(x-2)(x-3)}+1+\frac{9}{x-3}<0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{7+(x-2)(x-3)+9(x-2)}{(x-2)(x-3)}<0.$$

Упростим числитель:

$$7+(x^2-5x+6)+9x-18=x^2+4x-5.$$

Получаем

$$\frac{x^2+4x-5}{(x-2)(x-3)}<0.$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2+4x-5=(x+5)(x-1).$$

Тогда

$$\frac{(x+5)(x-1)}{(x-2)(x-3)}<0.$$

Критические точки: $$-5,\ 1,\ 2,\ 3$$. По знакам дроби получаем решение:

$$-5<x<1,\quad 2<x<3.$$

Наибольшее целое число из этого множества — $$0$$.

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$.