Упр.422 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Центральная площадь города N имеет форму прямоугольника. На двух соседних сторонах площади стоят два одноэтажных торговых центра. Здания торговых центров имеют форму квадратов (рис. 45). Длина центральной площади в $$2$$ раза больше ширины. Известно также, что площадь первого торгового центра на $$1080\ \text{м}^2$$ больше площади второго центра. Перед реконструкцией второго торгового центра было получено разрешение на увеличение высоты здания на два этажа. При этом один этаж планируется отвести для торговых помещений, а другой — для организации питания и развлечений. Планируется на этаже, не предназначенном для торговых залов, открыть бильярдную площадью $$90\ \text{м}^2$$ и три точки быстрого питания (одинаковой площади каждая): кафе-мороженое, пельменную и пончиковую. Определите площадь, планируемую для пельменной.
При каких значениях $$a$$ множеством решений неравенства $$(3x-a)^2(2x+5)(x-0{,}9)<0$$ является числовой промежуток $$(-2{,}5; 0{,}9)$$?

Подробный ответ

Так как $$\left(3x-a\right)^2 \ge 0$$ при любых $$x$$, то знак произведения определяется множителем $$\left(2x+5\right)\left(x-0{,}9\right)$$, а также тем, что при $$3x-a=0$$ всё выражение обращается в нуль и не подходит под знак $$<0$$.

Чтобы множеством решений было число́вое промежуток $$(-2{,}5;0{,}9),$$ нужно, чтобы неравенство

$$\left(2x+5\right)\left(x-0{,}9\right)<0$$

имело именно этот промежуток решений. Его корни:

$$2x+5=0 \Rightarrow x=-2{,}5,$$

$$x-0{,}9=0 \Rightarrow x=0{,}9.$$

Кроме того, точка $$x=\dfrac{a}{3}$$ не должна попадать внутрь промежутка $$(-2{,}5;0{,}9),$$ иначе при ней выражение будет равно нулю. Значит,

$$\frac{a}{3}\le -2{,}5 \quad \text{или} \quad \frac{a}{3}\ge 0{,}9.$$

Отсюда получаем:

$$a\le -7{,}5 \quad \text{или} \quad a\ge 2{,}7.$$

Итак, при таких значениях параметра множество решений неравенства совпадает с промежутком $$(-2{,}5;0{,}9).$$