Упр.422 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 422. При каких значениях a множеством решений неравенства (3x-a)^2(2x+5)(x-0,9) < 0 является числовой промежуток (-2,5; 0,9)?

Подробный ответ

Так как $$\left(3x-a\right)^2 \ge 0$$ при любых $$x$$, то знак произведения определяется множителем $$\left(2x+5\right)\left(x-0{,}9\right)$$, а также тем, что при $$3x-a=0$$ всё выражение обращается в нуль и не подходит под знак $$<0$$.

Чтобы множеством решений было число́вое промежуток $$(-2{,}5;0{,}9),$$ нужно, чтобы неравенство

$$\left(2x+5\right)\left(x-0{,}9\right)<0$$

имело именно этот промежуток решений. Его корни:

$$2x+5=0 \Rightarrow x=-2{,}5,$$

$$x-0{,}9=0 \Rightarrow x=0{,}9.$$

Кроме того, точка $$x=\dfrac{a}{3}$$ не должна попадать внутрь промежутка $$(-2{,}5;0{,}9),$$ иначе при ней выражение будет равно нулю. Значит,

$$\frac{a}{3}\le -2{,}5 \quad \text{или} \quad \frac{a}{3}\ge 0{,}9.$$

Отсюда получаем:

$$a\le -7{,}5 \quad \text{или} \quad a\ge 2{,}7.$$

Итак, при таких значениях параметра множество решений неравенства совпадает с промежутком $$(-2{,}5;0{,}9).$$