Упр.421 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) y=v(x^3-2x^2+3x-6); в) y=v(x^3+7x-8);
б) y=v(x^4+x^3-4x^2-4x); г) y=v(x^3-x^2+3x+5).

а) Для существования корня нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$x^3-2x^2+3x-6\ge 0$$

Разложим на множители:

$$x^3-2x^2+3x-6=x^2(x-2)+3(x-2)=(x^2+3)(x-2)$$

Так как $$x^2+3>0$$ при любых $$x$$, то неравенство равносильно:

$$x-2\ge 0$$

Следовательно,

$$D(x)=[2;+\infty)$$

б)

$$x^4+x^3-4x^2-4x\ge 0$$

Вынесем общий множитель и разложим на множители:

$$x^4+x^3-4x^2-4x=x(x^3+x^2-4x-4)=x(x+1)(x^2-4)=x(x+1)(x-2)(x+2)$$

Получаем неравенство:

$$x(x+1)(x-2)(x+2)\ge 0$$

Корни: $$-2,\,-1,\,0,\,2$$. По знакам на промежутках получаем:

$$D(x)=(-\infty;-2]\cup[-1;0]\cup[2;+\infty)$$

в)

$$x^3+7x-8\ge 0$$

Проверим целый корень $$x=1$$:

$$1^3+7\cdot 1-8=0$$

Тогда

$$x^3+7x-8=(x-1)(x^2+x+8)$$

Так как

$$x^2+x+8>0$$

при любых $$x$$, то достаточно решить:

$$x-1\ge 0$$

Значит,

$$D(x)=[1;+\infty)$$

г)

$$x^3-x^2+3x+5\ge 0$$

Проверим корень $$x=-1$$:

$$(-1)^3-(-1)^2+3(-1)+5=0$$

Разложим на множители:

$$x^3-x^2+3x+5=(x+1)(x^2-2x+5)$$

Так как

$$x^2-2x+5=(x-1)^2+4>0$$

при любых $$x$$, то неравенство равносильно:

$$x+1\ge 0$$

Следовательно,

$$D(x)=[-1;+\infty)$$

Ответ

а) $$D(x)=[2;+\infty)$$; б) $$D(x)=(-\infty;-2]\cup[-1;0]\cup[2;+\infty)$$; в) $$D(x)=[1;+\infty)$$; г) $$D(x)=[-1;+\infty)$$.