Упр.420 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) x^4-34x^2-72 < 0; г) x^4+9x^2-22?0; б) x^4-2x^2-15?0; д) x^4-3x^3-x+3 < 0; в) x^4+x^2-30 < 0; е) x^4+5x^3-x-5?0.
$$x^4-34x^2-72<0$$
Положим $$t=x^2$$, тогда получаем:
$$t^2-34t-72<0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=34^2+4\cdot 72=1156+288=1444$$
$$t_{1,2}=\frac{34\pm 38}{2}$$
$$t_1=-2,\quad t_2=36$$
Тогда
$$\left(x^2+2\right)\left(x^2-36\right)<0$$
Так как $$x^2+2>0$$ при любых $$x$$, то нужно решить:
$$x^2-36<0$$
$$-6<x<6$$
$$x^4-2x^2-15\le 0$$
Положим $$t=x^2$$:
$$t^2-2t-15\le 0$$
$$D=2^2+4\cdot 15=4+60=64$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 8}{2}$$
$$t_1=-3,\quad t_2=5$$
Следовательно,
$$\left(x^2+3\right)\left(x^2-5\right)\le 0$$
Так как $$x^2+3>0$$, то
$$x^2-5\le 0$$
$$-\sqrt5\le x\le \sqrt5$$
$$x^4+x^2-30<0$$
Положим $$t=x^2$$:
$$t^2+t-30<0$$
$$D=1^2+4\cdot 30=1+120=121$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 11}{2}$$
$$t_1=-6,\quad t_2=5$$
Тогда
$$\left(x^2+6\right)\left(x^2-5\right)<0$$
Так как $$x^2+6>0$$, получаем:
$$x^2-5<0$$
$$-\sqrt5<x<\sqrt5$$
$$x^4+9x^2-22\ge 0$$
Положим $$t=x^2$$:
$$t^2+9t-22\ge 0$$
$$D=9^2+4\cdot 22=81+88=169$$
$$t_{1,2}=\frac{-9\pm 13}{2}$$
$$t_1=-11,\quad t_2=2$$
Следовательно,
$$\left(x^2+11\right)\left(x^2-2\right)\ge 0$$
Так как $$x^2+11>0$$, то
$$x^2-2\ge 0$$
$$x\le -\sqrt2 \quad \text{или} \quad x\ge \sqrt2$$
$$x^4-3x^3-x+3<0$$
Группируем слагаемые:
$$x^3(x-3)-(x-3)<0$$
$$\left(x^3-1\right)(x-3)<0$$
$$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)(x-3)<0$$
Так как $$x^2+x+1>0$$ при любых $$x$$, получаем:
$$\left(x-1\right)(x-3)<0$$
Отсюда
$$1<x<3$$
$$x^4+5x^3-x-5\ge 0$$
Группируем:
$$x^3(x+5)-(x+5)\ge 0$$
$$\left(x^3-1\right)(x+5)\ge 0$$
$$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)(x+5)\ge 0$$
Так как $$x^2+x+1>0$$ при любых $$x$$, имеем:
$$\left(x-1\right)(x+5)\ge 0$$
Следовательно,
$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 1$$
Ответ
а) $$(-6;6)$$; б) $$[-\sqrt5;\sqrt5]$$; в) $$(-\sqrt5;\sqrt5)$$; г) $$(-\infty;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;+\infty)$$; д) $$ (1;3)$$; е) $$(-\infty;-5]\cup[1;+\infty)$$.
