Упр.419 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 419. При каких значениях m все точки графика функции y=x^2+2(m-1)x+m(1-m) расположены выше оси x?

Чтобы все точки графика функции $$y=x^2+2(m-1)x+m(1-m)$$ располагались выше оси $$x$$, нужно, чтобы квадратный трехчлен был положительным при всех значениях $$x$$:

$$x^2+2(m-1)x+m(1-m)>0.$$

Так как старший коэффициент равен $$1>0$$, достаточно потребовать, чтобы дискриминант был отрицательным:

$$D=4(m-1)^2-4m(1-m)<0.$$

Упростим:

$$ 4(m^2-2m+1)-4(m-m^2)<0 \\ 4m^2-8m+4-4m+4m^2<0 \\ 8m^2-12m+4<0 \\ 2m^2-3m+1<0. $$

Решим квадратное неравенство:

$$2m^2-3m+1=0,$$

$$D=9-8=1,$$

$$ m_{1,2}=\frac{3\pm1}{4}. $$

Получаем:

$$m_1=\frac12,\quad m_2=1.$$

Так как коэффициент при $$m^2$$ положительный, неравенство $$2m^2-3m+1<0$$ выполняется между корнями:

$$\frac12<m<1.$$

Ответ

$$\frac12<m<1$$