Упр.418 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 418. При каких значениях a каждое решение неравенства 3(a-4x)+2(x-4) < 0 является решением неравенства x^2-4x+3 > 0?

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $$x^2-4x+3>0$$

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$

Тогда

$$ (x-1)(x-3)>0 $$

Отсюда

$$x<1 \quad \text{или} \quad x>3.$$

2) $$3(a-4x)+2(x-4)<0$$

Раскроем скобки:

$$3a-12x+2x-8<0$$

$$3a-10x-8<0$$

$$-10x<-3a+8$$

$$x>\frac{3a-8}{10}.$$

Чтобы каждое решение этого неравенства было решением неравенства $$x^2-4x+3>0,$$ множество решений первого неравенства должно целиком лежать в множестве $$x<1$$ или $$x>3.$$

Так как решения первого неравенства имеют вид $$x>\frac{3a-8}{10},$$ нужно, чтобы все такие $$x$$ удовлетворяли условию $$x>3.$$ Значит,

$$\frac{3a-8}{10}\ge 3.$$

Решим неравенство:

$$3a-8\ge 30$$

$$3a\ge 38$$

$$a\ge \frac{38}{3}=12\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$a\in\left[12\frac{2}{3};+\infty\right).$$