Упр.418 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите графическим способом систему уравнений:
   а) $$\begin{cases} y-x^2=-1,\\ y-2x=1; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} xy-1=0,\\ y+x^2=3; \end{cases}$$
   в) $$\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=16,\\ y+4x=x^2+6. \end{cases}$$
2. При каких значениях $$a$$ каждое решение неравенства $$3(a-4x)+2(x-4)<0$$ является решением неравенства $$x^2-4x+3>0$$?

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $$x^2-4x+3>0$$

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$

Тогда

$$(x-1)(x-3)>0$$

Отсюда

$$x<1 \quad \text{или} \quad x>3.$$

2) $$3(a-4x)+2(x-4)<0$$

Раскроем скобки:

$$3a-12x+2x-8<0$$

$$3a-10x-8<0$$

$$-10x<-3a+8$$

$$x>\frac{3a-8}{10}.$$

Чтобы каждое решение этого неравенства было решением неравенства $$x^2-4x+3>0,$$ множество решений первого неравенства должно целиком лежать в множестве $$x<1$$ или $$x>3.$$

Так как решения первого неравенства имеют вид $$x>\frac{3a-8}{10},$$ нужно, чтобы все такие $$x$$ удовлетворяли условию $$x>3.$$ Значит,

$$\frac{3a-8}{10}\ge 3.$$

Решим неравенство:

$$3a-8\ge 30$$

$$3a\ge 38$$

$$a\ge \frac{38}{3}=12\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$a\in\left[12\frac{2}{3};+\infty\right).$$