Упр.416 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) 3x^2-2x+a > 0; в) ax^2-2x+1 > 0;
б) -x^2-4x-a < 0; г) ax^2+4x+1 > 0.
Чтобы квадратное неравенство было верно при любом $$x$$, соответствующий квадратный трехчлен должен быть положительным для всех $$x$$. Для этого необходимо и достаточно, чтобы:
- старший коэффициент был положительным;
- дискриминант был отрицательным: $$D<0$$.
$$3x^2-2x+a>0$$
Здесь $$A=3>0$$, $$B=-2$$, $$C=a$$.
$$D=B^2-4AC=(-2)^2-4\cdot 3\cdot a=4-12a.$$
Требуем:
$$4-12a<0$$
$$12a>4$$
$$a>\frac13.$$
$$-x^2-4x-a<0$$
Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак неравенства:
$$x^2+4x+a>0.$$
Теперь $$A=1>0$$, $$B=4$$, $$C=a$$.
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot a=16-4a.$$
Требуем:
$$16-4a<0$$
$$4a>16$$
$$a>4.$$
$$ax^2-2x+1>0$$
Здесь $$A=a$$, $$B=-2$$, $$C=1$$.
Для верности при любом $$x$$ нужно:
$$a>0,$$
$$D=(-2)^2-4\cdot a\cdot 1=4-4a<0.$$
Отсюда:
$$4a>4$$
$$a>1.$$
$$ax^2+4x+1>0$$
Здесь $$A=a$$, $$B=4$$, $$C=1$$.
Нужно:
$$a>0,$$
$$D=4^2-4\cdot a\cdot 1=16-4a<0.$$
Тогда:
$$4a>16$$
$$a>4.$$
Ответ
а) $$\left(\frac13;+\infty\right)$$; б) $$\left(4;+\infty\right)$$; в) $$\left(1;+\infty\right)$$; г) $$\left(4;+\infty\right)$$.
