Упр.413 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 413. Решите уравнение 1/(x^2+2x-4)+1/(x^2+2x+4)=1/(x^2+2x-5). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makarichev_ugl9 413 95

Пусть $$y=x^2+2x.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{1}{y-4}+\frac{1}{y+4}=\frac{1}{y-5}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{(y+4)+(y-4)}{(y-4)(y+4)}=\frac{1}{y-5}.$$

Получаем

$$\frac{2y}{y^2-16}=\frac{1}{y-5}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$2y(y-5)=y^2-16.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$2y^2-10y=y^2-16$$

$$y^2-10y+16=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=10^2-4\cdot 16=100-64=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}.$$

Отсюда

$$y_1=2,\qquad y_2=8.$$

Теперь найдём $x$.

1) Если $$x^2+2x=2,$$ то

$$x^2+2x-2=0,$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=4+8=12,$$

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}.$$

2) Если $$x^2+2x=8,$$ то

$$x^2+2x-8=0,$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36,$$

$$x=\frac{-2\pm 6}{2},$$

откуда

$$x_1=-4,\qquad x_2=2.$$

Проверка области допустимых значений: при найденных значениях знаменатели не обращаются в нуль.

Ответ

$$x=-4,\;2,\;-1-\sqrt{3},\;-1+\sqrt{3}.$$