Упр.412 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 6/(4x^3+x+1)=3/(2x+1)-2x/(2x^2-x+1);
б) 1/(2x-2)+1/(8x^3-4x^2+2x-6)=6x/(3+2x+4x^2);
в) 40/(2x^3+11x^2-3)-3/(2x-1)=(8x+2)/(x^2+6x+3);
г) (x^2+2)/(x^2-1)+7/(x^2+3)=63/(x^4+2x^2-3).

1. а)

   $$\frac{6}{4x^3+x+1}=\frac{3}{2x+1}-\frac{2x}{2x^2-x+1}$$

   Разложим знаменатель:
   $$4x^3+x+1=(2x+1)(2x^2-x+1).$$

   Тогда
   $$ \frac{6}{(2x+1)(2x^2-x+1)}=\frac{3}{2x+1}-\frac{2x}{2x^2-x+1}. $$

   Умножим на $$ (2x+1)(2x^2-x+1) $$:
   $$ 6=3(2x^2-x+1)-2x(2x+1). $$

   $$ 6=6x^2-3x+3-4x^2-2x $$
   $$ 2x^2-5x-3=0. $$

   $$ D=25+24=49,\quad x=\frac{5\pm 7}{4}. $$
   Получаем:
   $$ x_1=-\frac12,\quad x_2=3. $$

   ОДЗ: $$2x+1\ne 0,$$ значит $$x\ne -\frac12.$$
   Подходит только $$x=3.$$

2. б)

   $$\frac{1}{2x-2}+\frac{1}{8x^3-4x^2+2x-6}=\frac{6x}{3+2x+4x^2}$$

   Разложим знаменатель:
   $$ 8x^3-4x^2+2x-6=(2x-2)(4x^2+2x+3). $$

   Тогда
   $$ \frac{1}{2x-2}+\frac{1}{(2x-2)(4x^2+2x+3)}=\frac{6x}{4x^2+2x+3}. $$

   Умножим на $$ (2x-2)(4x^2+2x+3) $$:
   $$ 4x^2+2x+3+1=6x(2x-2). $$

   $$ 4x^2+2x+4=12x^2-12x $$
   $$ 8x^2-14x-4=0 $$
   $$ 4x^2-7x-2=0. $$

   $$ D=49+32=81,\quad x=\frac{7\pm 9}{8}. $$
   Получаем:
   $$ x_1=-\frac14,\quad x_2=2. $$

   ОДЗ: $$2x-2\ne 0,$$ значит $$x\ne 1.$$ Оба корня подходят.

3. в)

   $$\frac{40}{2x^3+11x^2-3}-\frac{3}{2x-1}=\frac{8x+2}{x^2+6x+3}$$

   Разложим знаменатель:
   $$ 2x^3+11x^2-3=(2x-1)(x^2+6x+3). $$

   Тогда
   $$ \frac{40}{(2x-1)(x^2+6x+3)}-\frac{3}{2x-1}=\frac{8x+2}{x^2+6x+3}. $$

   Умножим на $$ (2x-1)(x^2+6x+3) $$:
   $$ 40-3(x^2+6x+3)=(2x-1)(8x+2). $$

   $$ 40-3x^2-18x-9=16x^2-4x-2 $$
   $$ 19x^2+14x-33=0. $$

   $$ D=14^2+4\cdot 19\cdot 33=2704,\quad x=\frac{-14\pm 52}{38}. $$
   Получаем:
   $$ x_1=-\frac{14}{19},\quad x_2=1. $$

   ОДЗ: $$2x-1\ne 0,$$ значит $$x\ne \frac12.$$ Оба корня подходят.

4. г)

   $$\frac{x^2+2}{x^2-1}+\frac{7}{x^2+3}=\frac{63}{x^4+2x^2-3}$$

   Заметим, что
   $$ x^4+2x^2-3=(x^2-1)(x^2+3). $$

   Тогда
   $$ \frac{x^2+2}{x^2-1}+\frac{7}{x^2+3}=\frac{63}{(x^2-1)(x^2+3)}. $$

   Умножим на $$ (x^2-1)(x^2+3) $$:
   $$ (x^2+2)(x^2+3)+7(x^2-1)=63. $$

   $$ x^4+3x^2+2x^2+6+7x^2-7=63 $$
   $$ x^4+12x^2-64=0. $$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$ t^2+12t-64=0. $$
   $$ D=144+256=400,\quad t=\frac{-12\pm 20}{2}. $$
   Получаем:
   $$ t_1=-16,\quad t_2=4. $$

   Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$t=-16$$ не подходит, а из $$x^2=4$$ имеем
   $$ x=\pm 2. $$

   ОДЗ: $$x^2-1\ne 0,$$ значит $$x\ne \pm 1.$$ Оба корня подходят.

Ответ

а) $$3$$; б) $$-\frac14,\ 2$$; в) $$-\frac{14}{19},\ 1$$; г) $$-2,\ 2$$.