Упр.412 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Задание учебника 2026 года. Найдите корни уравнения: а) $$9x^4+35x^2-4=0$$; б) $$4x^4-5x^2+1=0$$.
2. Задание учебника 2023 года. Решите уравнение: а) $$\frac{6}{4x^3+x+1}=\frac{3}{2x+1}-\frac{2x}{2x^2-x+1}$$; б) $$\frac{1}{2x-2}+\frac{1}{8x^3-4x^2+2x-6}=\frac{6x}{3+2x+4x^2}$$; в) $$\frac{40}{2x^3+11x^2-3}-\frac{3}{2x-1}=\frac{8x+2}{x^2+6x+3}$$; г) $$\frac{x^2+2}{x^2-1}+\frac{7}{x^2+3}=\frac{63}{x^4+2x^2-3}$$.

1. а)

   $$\frac{6}{4x^3+x+1}=\frac{3}{2x+1}-\frac{2x}{2x^2-x+1}$$

   Разложим знаменатель:
   $$4x^3+x+1=(2x+1)(2x^2-x+1).$$

   Тогда
   $$\frac{6}{(2x+1)(2x^2-x+1)}=\frac{3}{2x+1}-\frac{2x}{2x^2-x+1}.$$

   Умножим на $$(2x+1)(2x^2-x+1)$$:
   $$6=3(2x^2-x+1)-2x(2x+1).$$

   $$6=6x^2-3x+3-4x^2-2x$$
   $$2x^2-5x-3=0.$$

   $$D=25+24=49,\quad x=\frac{5\pm 7}{4}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-\frac12,\quad x_2=3.$$

   ОДЗ: $$2x+1\ne 0,$$ значит $$x\ne -\frac12.$$
   Подходит только $$x=3.$$

2. б)

   $$\frac{1}{2x-2}+\frac{1}{8x^3-4x^2+2x-6}=\frac{6x}{3+2x+4x^2}$$

   Разложим знаменатель:
   $$8x^3-4x^2+2x-6=(2x-2)(4x^2+2x+3).$$

   Тогда
   $$\frac{1}{2x-2}+\frac{1}{(2x-2)(4x^2+2x+3)}=\frac{6x}{4x^2+2x+3}.$$

   Умножим на $$(2x-2)(4x^2+2x+3)$$:
   $$4x^2+2x+3+1=6x(2x-2).$$

   $$4x^2+2x+4=12x^2-12x$$
   $$8x^2-14x-4=0$$
   $$4x^2-7x-2=0.$$

   $$D=49+32=81,\quad x=\frac{7\pm 9}{8}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-\frac14,\quad x_2=2.$$

   ОДЗ: $$2x-2\ne 0,$$ значит $$x\ne 1.$$ Оба корня подходят.

3. в)

   $$\frac{40}{2x^3+11x^2-3}-\frac{3}{2x-1}=\frac{8x+2}{x^2+6x+3}$$

   Разложим знаменатель:
   $$2x^3+11x^2-3=(2x-1)(x^2+6x+3).$$

   Тогда
   $$\frac{40}{(2x-1)(x^2+6x+3)}-\frac{3}{2x-1}=\frac{8x+2}{x^2+6x+3}.$$

   Умножим на $$(2x-1)(x^2+6x+3)$$:
   $$40-3(x^2+6x+3)=(2x-1)(8x+2).$$

   $$40-3x^2-18x-9=16x^2-4x-2$$
   $$19x^2+14x-33=0.$$

   $$D=14^2+4\cdot 19\cdot 33=2704,\quad x=\frac{-14\pm 52}{38}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-\frac{14}{19},\quad x_2=1.$$

   ОДЗ: $$2x-1\ne 0,$$ значит $$x\ne \frac12.$$ Оба корня подходят.

4. г)

   $$\frac{x^2+2}{x^2-1}+\frac{7}{x^2+3}=\frac{63}{x^4+2x^2-3}$$

   Заметим, что
   $$x^4+2x^2-3=(x^2-1)(x^2+3).$$

   Тогда
   $$\frac{x^2+2}{x^2-1}+\frac{7}{x^2+3}=\frac{63}{(x^2-1)(x^2+3)}.$$

   Умножим на $$(x^2-1)(x^2+3)$$:
   $$(x^2+2)(x^2+3)+7(x^2-1)=63.$$

   $$x^4+3x^2+2x^2+6+7x^2-7=63$$
   $$x^4+12x^2-64=0.$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t^2+12t-64=0.$$
   $$D=144+256=400,\quad t=\frac{-12\pm 20}{2}.$$
   Получаем:
   $$t_1=-16,\quad t_2=4.$$

   Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$t=-16$$ не подходит, а из $$x^2=4$$ имеем
   $$x=\pm 2.$$

   ОДЗ: $$x^2-1\ne 0,$$ значит $$x\ne \pm 1.$$ Оба корня подходят.

Ответ

а) $$3$$; б) $$-\frac14,\ 2$$; в) $$-\frac{14}{19},\ 1$$; г) $$-2,\ 2$$.