Упр.411 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Задание учебника 2026 года. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}3x-4y+1=0,\\x=2y+1;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}5x-3y=8,\\-2x+3y=4.\end{cases}$$
2. Задание учебника 2023 года. Найдите корни уравнения:
   а) $$\frac{3}{x^2+2}-\frac{x+2}{x^4-4}=\frac{3x-5}{x^3+x^2+2x-2};$$
   б) $$\frac{8}{x^2+3}-\frac{x+7}{x^4-9}=\frac{8x-20}{x^3+x^2-3x-3}.$$

1. а) Преобразуем знаменатели:

   $$x^4-4=(x^2+2)(x^2-2), \qquad x^3+x^2+2x-2=(x^2+2)(x-1).$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$\frac{3}{x^2+2}-\frac{x+2}{(x^2+2)(x^2-2)}=\frac{3x-5}{(x^2+2)(x-1)}.$$

   Умножим обе части на $$\left(x^2+2\right)\left(x^2-2\right)(x-1)$$:

   $$3(x^2-2)(x-1)-(x+2)(x-1)=(3x-5)(x^2-2).$$

   Раскроем скобки:

   $$3x^3-3x^2-6x+6-x^2-x+2=3x^3-6x-5x^2+10.$$

   Получаем:

   $$x^2-x-2=0.$$

   $$(x+1)(x-2)=0,$$
   значит,
   $$x=-1 \text{ или } x=2.$$

   Оба значения подходят, так как не обращают знаменатели в нуль.

2. б) Разложим знаменатели:

   $$x^4-9=(x^2+3)(x^2-3), \qquad x^3+x^2-3x-3=(x^2-3)(x+1).$$

   Тогда:

   $$\frac{8}{x^2+3}-\frac{x+7}{(x^2+3)(x^2-3)}=\frac{8x-20}{(x^2-3)(x+1)}.$$

   Умножим обе части на $$\left(x^2+3\right)\left(x^2-3\right)(x+1)$$:

   $$8(x^2-3)(x+1)-(x+7)(x+1)=(8x-20)(x^2+3).$$

   Раскроем скобки:

   $$8x^3+8x^2-24x-24-x^2-8x-7=8x^3+24x-20x^2-60.$$

   Получаем:

   $$27x^2-56x+29=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=56^2-4\cdot 27\cdot 29=3136-3132=4.$$

   $$x=\frac{56\pm 2}{2\cdot 27}.$$

   $$x_1=1,\qquad x_2=\frac{29}{27}.$$

   Оба значения удовлетворяют области допустимых значений.

Ответ

а) $$-1,\ 2$$; б) $$1,\ \frac{29}{27}$$.