Упр.411 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 3/(x^2+2)-(x+2)/(x^4-4)=(3x-5)/(x^3+x^2+2x-2);
б) 8/(x^2+3)-(x+7)/(x^4-9)=(8x-20)/(x^3+x^2-3x-3).

1. а) Преобразуем знаменатели:

   $$x^4-4=(x^2+2)(x^2-2), \qquad x^3+x^2+2x-2=(x^2+2)(x-1).$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$\frac{3}{x^2+2}-\frac{x+2}{(x^2+2)(x^2-2)}=\frac{3x-5}{(x^2+2)(x-1)}.$$

   Умножим обе части на $$\left(x^2+2\right)\left(x^2-2\right)(x-1)$$:

   $$ 3(x^2-2)(x-1)-(x+2)(x-1)=(3x-5)(x^2-2). $$

   Раскроем скобки:

   $$ 3x^3-3x^2-6x+6-x^2-x+2=3x^3-6x-5x^2+10. $$

   Получаем:

   $$ x^2-x-2=0. $$

   $$ (x+1)(x-2)=0, $$
   значит,
   $$ x=-1 \text{ или } x=2. $$

   Оба значения подходят, так как не обращают знаменатели в нуль.

2. б) Разложим знаменатели:

   $$x^4-9=(x^2+3)(x^2-3), \qquad x^3+x^2-3x-3=(x^2-3)(x+1).$$

   Тогда:

   $$\frac{8}{x^2+3}-\frac{x+7}{(x^2+3)(x^2-3)}=\frac{8x-20}{(x^2-3)(x+1)}.$$

   Умножим обе части на $$\left(x^2+3\right)\left(x^2-3\right)(x+1)$$:

   $$ 8(x^2-3)(x+1)-(x+7)(x+1)=(8x-20)(x^2+3). $$

   Раскроем скобки:

   $$ 8x^3+8x^2-24x-24-x^2-8x-7=8x^3+24x-20x^2-60. $$

   Получаем:

   $$ 27x^2-56x+29=0. $$

   Найдём корни:

   $$ D=56^2-4\cdot 27\cdot 29=3136-3132=4. $$

   $$ x=\frac{56\pm 2}{2\cdot 27}. $$

   $$ x_1=1,\qquad x_2=\frac{29}{27}. $$

   Оба значения удовлетворяют области допустимых значений.

Ответ

а) $$-1,\ 2$$; б) $$1,\ \frac{29}{27}$$.