Упр.409 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x^4(x+1)^4-40x^2(x+1)^2+144=0;
б) (x+3)^4/x^4-54(x+3)^2/x^2+900=0.

а) Обозначим $$y=x^2(x+1)^2.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$y^2-40y+144=0.$$

Найдём корни:

$$D=40^2-4\cdot144=1600-576=1024,$$

$$y_{1,2}=\frac{40\pm32}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=4,\qquad y_2=36.$$

1) Если $$x^2(x+1)^2=4,$$ то

$$x^2(x+1)^2-4=0,$$

$$\bigl(x(x+1)-2\bigr)\bigl(x(x+1)+2\bigr)=0.$$

Так как $$x(x+1)=x^2+x,$$ имеем

$$x^2+x-2=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm3}{2}.$$

Отсюда

$$x_1=-2,\qquad x_2=1.$$

2) Если $$x^2(x+1)^2=36,$$ то

$$x^2(x+1)^2-36=0,$$

$$\bigl(x(x+1)-6\bigr)\bigl(x(x+1)+6\bigr)=0.$$

Тогда

$$x^2+x-6=0.$$

$$D=1+24=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{2}.$$

Получаем

$$x_1=-3,\qquad x_2=2.$$

Итак, для пункта а) решения: $$-3,\,-2,\,1,\,2.$$

б) Обозначим

$$y=\frac{(x+3)^2}{x^2}, \qquad x\ne0.$$

Тогда уравнение имеет вид

$$y^2-54y+900=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=54^2-4\cdot900=2916-3600=-684.$$

Так как $$D<0,$$ действительных значений $$y$$ нет, значит, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ

а) $$-3,\,-2,\,1,\,2$$; б) корней нет.