Упр.408 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (x^2+6x)^2-4(x^2+6x+1)-17=0;
б) (x^2+x)^2-5(x^2+x-4)+6=0;
в) x(x-2)(x-3)(x-5)=72;
г) (x-3)(x+2)(x-6)(x-1)=-56.

Подробный ответ

а) Введём замену: $$y=x^2+6x.$$ Тогда
$$y^2-4(y+1)-17=0$$
$$y^2-4y-21=0$$
$$D=4^2+4\cdot 21=100,$$
$$y_1=\frac{4-10}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{4+10}{2}=7.$$
1) $$x^2+6x=-3$$
$$x^2+6x+3=0,$$
$$D=6^2-4\cdot 3=24,$$
$$x=\frac{-6\pm\sqrt{24}}{2}=-3\pm\sqrt6.$$
2) $$x^2+6x=7$$
$$x^2+6x-7=0,$$
$$D=6^2+4\cdot 7=64,$$
$$x_1=\frac{-6-8}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-6+8}{2}=1.$$
б) Введём замену: $$y=x^2+x.$$ Тогда
$$y^2-5(y-4)+6=0$$
$$y^2-5y+26=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 26=25-104=-79<0.$$
Действительных значений $$y$$ нет, значит, уравнение не имеет корней.
в) Преобразуем:
$$x(x-2)(x-3)(x-5)=72$$
$$ (x^2-5x)(x^2-5x+6)=72.$$
Пусть $$y=x^2-5x.$$ Тогда
$$y(y+6)=72$$
$$y^2+6y-72=0.$$
$$D=6^2+4\cdot 72=324,$$
$$y_1=\frac{-6-18}{2}=-12,\qquad y_2=\frac{-6+18}{2}=6.$$
1) $$x^2-5x=-12$$
$$x^2-5x+12=0,$$
$$D=25-48=-23<0,$$
корней нет.
2) $$x^2-5x=6$$
$$x^2-5x-6=0,$$
$$D=25+24=49,$$
$$x_1=\frac{5-7}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{5+7}{2}=6.$$
г) Преобразуем:
$$ (x-3)(x+2)(x-6)(x-1)=-56$$
$$ (x^2-4x+3)(x^2-4x-12)=-56.$$
Пусть $$y=x^2-4x+3.$$ Тогда
$$y(y-15)=-56$$
$$y^2-15y+56=0.$$
$$D=15^2-4\cdot 56=1,$$
$$y_1=\frac{15-1}{2}=7,\qquad y_2=\frac{15+1}{2}=8.$$
1) $$x^2-4x+3=7$$
$$x^2-4x-4=0,$$
$$D=16+16=32,$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{32}}{2}=2\pm 2\sqrt2.$$
2) $$x^2-4x+3=8$$
$$x^2-4x-5=0,$$
$$D=16+20=36,$$
$$x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{4+6}{2}=5.$$