Упр.407 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. На рисунке 57 изображён график уравнения с двумя переменными. Найдите по графику (приближённо) два решения: а) с одинаковыми значениями $$x$$; б) с противоположными значениями $$y$$.
2. Составьте уравнение с целыми коэффициентами, зная, что один из его корней равен $$\sqrt{5}$$, а другой равен $$3-\sqrt{2}$$.

Если один из корней уравнения равен $$\sqrt{5}$$, то вместе с ним можно взять сопряжённый корень $$-\sqrt{5}$$. Аналогично, если корень равен $$3-\sqrt{2}$$, то сопряжённый к нему корень $$3+\sqrt{2}$$.

Тогда уравнение с целыми коэффициентами можно составить так:

$$(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x-(3-\sqrt{2}))(x-(3+\sqrt{2}))=0.$$

Упростим:

$$(x^2-5)\bigl((x-3)^2-2\bigr)=0,$$

$$(x^2-5)(x^2-6x+7)=0.$$

Раскроем скобки:

$$x^4-6x^3+7x^2-5x^2+30x-35=0,$$

$$x^4-6x^3+2x^2+30x-35=0.$$

Ответ

$$x^4-6x^3+2x^2+30x-35=0$$