Упр.407 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 407. Составьте уравнение с целыми коэффициентами, зная, что один из его корней равен v5, а другой равен 3-v2.

Если один из корней уравнения равен $$\sqrt{5}$$, то вместе с ним можно взять сопряжённый корень $$-\sqrt{5}$$. Аналогично, если корень равен $$3-\sqrt{2}$$, то сопряжённый к нему корень $$3+\sqrt{2}$$.

Тогда уравнение с целыми коэффициентами можно составить так:

$$ (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x-(3-\sqrt{2}))(x-(3+\sqrt{2}))=0. $$

Упростим:

$$ (x^2-5)\bigl((x-3)^2-2\bigr)=0, $$

$$ (x^2-5)(x^2-6x+7)=0. $$

Раскроем скобки:

$$ x^4-6x^3+7x^2-5x^2+30x-35=0, $$

$$ x^4-6x^3+2x^2+30x-35=0. $$

Ответ

$$x^4-6x^3+2x^2+30x-35=0$$