Упр.406 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Постройте график уравнения: а) $$(x-1)(|y|+2)=-4$$; б) $$(|x|+1)(y-2)=-4$$; в) $$(|x|+1)(|y|+2)=4$$.
2. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: а) $$y=2x^3-x^2-x$$ и $$y=6x-6$$; б) $$y=x^3+3x^2-x$$ и $$y=x^2+28x-42$$.

а) Найдём точки пересечения графиков, приравняв функции:

$$2x^3-x^2-x=6x-6$$

$$2x^3-x^2-7x+6=0$$

Разложим на множители:

$$2x^3-x^2-7x+6=(x-1)(2x^2+x-6)=0$$

Тогда

$$x-1=0 \Rightarrow x=1,$$

$$2x^2+x-6=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=1+48=49$$

$$x=\frac{-1\pm 7}{4}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=\frac{3}{2}.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y(1)=0,$$

$$y(-2)=2\cdot(-2)^3-(-2)^2-(-2)=-18,$$

$$y\left(\frac{3}{2}\right)=2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^3-\left(\frac{3}{2}\right)^2-\frac{3}{2}=3.$$

Значит, точки пересечения:

$$(-2;\,-18),\ (1;\,0),\ \left(\frac{3}{2};\,3\right).$$

б) Приравняем функции:

$$x^3+3x^2-x=x^2+28x-42$$

$$x^3+2x^2-29x+42=0$$

Разложим на множители:

$$x^3+2x^2-29x+42=(x-2)(x^2+4x-21)=0$$

Тогда

$$x-2=0 \Rightarrow x=2,$$

$$x^2+4x-21=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=16+84=100$$

$$x=\frac{-4\pm 10}{2}$$

$$x_1=-7,\quad x_2=3.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y(2)=18,$$

$$y(-7)=-189,$$

$$y(3)=51.$$

Следовательно, точки пересечения:

$$(2;\,18),\ (-7;\,-189),\ (3;\,51).$$

Ответ

а) $$(-2;\,-18),\ (1;\,0),\ \left(\frac{3}{2};\,3\right)$$

б) $$(2;\,18),\ (-7;\,-189),\ (3;\,51)$$