Упр.405 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Составьте уравнение, график которого получается растяжением графика уравнения $$y=x^2-3$$: а) от оси $$x$$ в 2 раза; б) от оси $$y$$ в 3 раза.
- Решите уравнение: а) $$x^3-x-6=0$$; г) $$x^3+2x^2+3x+2=0$$; б) $$x^3-5x+4=0$$; д) $$x^3-4x^2-4x-5=0$$; в) $$x^3+4x^2-3x-2=0$$; е) $$x^4-4x^3+3x^2+4x-4=0$$.
а) $$x^3-x-6=0$$
Подбираем корень: $$x=2$$.
$$x^3-x-6=(x-2)(x^2+2x+3)$$
Тогда
$$(x-2)(x^2+2x+3)=0$$
$$x-2=0 \Rightarrow x=2$$
Квадратное уравнение $$x^2+2x+3=0$$ действительных корней не имеет, так как
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$$
Значит, единственный корень: $$x=2$$.
б) $$x^3-5x+4=0$$
Подбираем корень: $$x=1$$.
$$x^3-5x+4=(x-1)(x^2+x-4)$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2+x-4=0$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-4)=1+16=17$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$$
Итак, корни уравнения:
$$x=1,\quad x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\quad x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$$
в) $$x^3+4x^2-3x-2=0$$
Подбираем корень: $$x=1$$.
$$x^3+4x^2-3x-2=(x-1)(x^2+5x+2)$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2+5x+2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 2=25-8=17$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}$$
Следовательно,
$$x=1,\quad x=\frac{-5-\sqrt{17}}{2},\quad x=\frac{-5+\sqrt{17}}{2}$$
г) $$x^3+2x^2+3x+2=0$$
Подбираем корень: $$x=-1$$.
$$x^3+2x^2+3x+2=(x+1)(x^2+x+2)$$
У квадратного уравнения $$x^2+x+2=0$$ нет действительных корней, так как
$$D=1-8=-7<0$$
Значит, единственный действительный корень:
$$x=-1$$
д) $$x^3-4x^2-4x-5=0$$
Подбираем корень: $$x=5$$.
$$x^3-4x^2-4x-5=(x-5)(x^2+x+1)$$
У квадратного уравнения $$x^2+x+1=0$$ нет действительных корней, так как
$$D=1-4=-3<0$$
Следовательно, единственный действительный корень:
$$x=5$$
е) $$x^4-4x^3+3x^2+4x-4=0$$
Разложим на множители:
$$x^4-4x^3+3x^2+4x-4=(x+1)(x-1)(x^2-4x+4)$$
$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$
Тогда
$$(x+1)(x-1)(x-2)^2=0$$
Отсюда
$$x=-1,\quad x=1,\quad x=2$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$1,\ \frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$$; в) $$1,\ \frac{-5-\sqrt{17}}{2},\ \frac{-5+\sqrt{17}}{2}$$; г) $$-1$$; д) $$5$$; е) $$-1,\ 1,\ 2$$.
