Упр.404 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 404. Докажите, что если ни один из делителей числа a_n, не равного нулю, не является корнем уравнения x^n+a_1x^(n-1)+…+a_(n-1)x+a_n=0 с целыми коэффициентами, то это уравнение не имеет рациональных корней.

Подробный ответ

Пусть уравнение

$$x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n=0$$

имеет рациональный корень $$x_0=\dfrac{p}{q}$$, где $$p$$ и $$q$$ — целые взаимно простые числа, $$q\neq 0$$.

Подставим $$x_0$$ в уравнение:

$$\left(\dfrac{p}{q}\right)^n+a_1\left(\dfrac{p}{q}\right)^{n-1}+\dots+a_{n-1}\dfrac{p}{q}+a_n=0.$$

Умножим обе части на $$q^n$$:

$$p^n+a_1p^{n-1}q+a_2p^{n-2}q^2+\dots+a_{n-1}pq^{n-1}+a_nq^n=0.$$

Перенесём последний член:

$$a_nq^n=-\bigl(p^n+a_1p^{n-1}q+\dots+a_{n-1}pq^{n-1}\bigr).$$

Правая часть делится на $$p$$, значит и левая часть делится на $$p$$. Так как $$p$$ и $$q$$ взаимно просты, то $$q^n$$ не делится на $$p$$. Следовательно, $$a_n$$ делится на $$p$$.

Аналогично, из исходного равенства видно, что число $$p^n$$ выражается через слагаемые, каждое из которых содержит множитель $$q$$, кроме первого. Поэтому, рассуждая по модулю $$q$$, получаем, что $$p^n$$ делится на $$q$$, а значит и $$p$$ делится на $$q$$. Но $$p$$ и $$q$$ взаимно просты, следовательно, $$q=\pm 1$$.

Значит, любой рациональный корень такого уравнения на самом деле является целым числом. Тогда этот корень должен быть делителем свободного члена $$a_n$$.

По условию ни один из делителей числа $$a_n$$ не является корнем уравнения. Следовательно, рациональных корней у уравнения нет.