Упр.402 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) v((2x-4)(3-2x-x^2))/(4x-5);
б) v((x^2+x)(2x^2-13x+15))/(2x-9)?

Подробный ответ

Чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля.

а)

$$ \frac{\sqrt{(2x-4)(3-2x-x^2)}}{4x-5} $$

Требуется:

$$ (2x-4)(3-2x-x^2)\ge 0,\qquad 4x-5\ne 0. $$

Разложим на множители:

$$ (2x-4)(3-2x-x^2)=2(x-2)\bigl(-(x^2+2x-3)\bigr) $$
$$ = -2(x-2)(x+3)(x-1). $$

Тогда

$$ (x+3)(x-1)(x-2)\le 0. $$

Нули: $$x=-3,\;1,\;2.$$ По знакам получаем:

$$ x\in(-\infty;-3]\cup[1;2]. $$

Кроме того,

$$ 4x-5\ne 0 \Rightarrow x\ne \frac54. $$

Итак,

$$ x\in(-\infty;-3]\cup[1;\tfrac54)\cup(\tfrac54;2]. $$

б)

$$ \frac{\sqrt{(x^2+x)(2x^2-13x+15)}}{2x-9} $$

Требуется:

$$ (x^2+x)(2x^2-13x+15)\ge 0,\qquad 2x-9\ne 0. $$

Разложим на множители:

$$ x^2+x=x(x+1), $$
$$ 2x^2-13x+15=(2x-3)(x-5). $$

Тогда

$$ x(x+1)(2x-3)(x-5)\ge 0. $$

Нули: $$x=-1,\;0,\;\frac32,\;5.$$ По знакам получаем:

$$ x\in(-\infty;-1]\cup[0;\tfrac32]\cup[5;+\infty). $$

Исключаем значение, при котором знаменатель равен нулю:

$$ 2x-9\ne 0 \Rightarrow x\ne \frac92. $$

Так как $$\frac92\in(0;\tfrac32)$$ неверно, а $$\frac92\in[5;+\infty)$$ тоже неверно, то это значение не входит в найденный промежуток. Следовательно, область определения:

$$ x\in(-\infty;-1]\cup[0;\tfrac32]\cup[5;+\infty). $$