Упр.400 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x^2+2bx}{a^2+b^2+2ab}-\frac{2x-a+b}{a+b}=0.$$

Так как $$a^2+b^2+2ab=(a+b)^2,$$ получаем

$$\frac{x^2+2bx}{(a+b)^2}-\frac{2x-a+b}{a+b}=0.$$

Умножим обе части на $$(a+b)^2$$, учитывая, что $$a+b\ne 0$$:

$$x^2+2bx-(2x-a+b)(a+b)=0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+2bx-2ax-2bx+a^2-b^2=0,$$

$$x^2-2ax+a^2-b^2=0.$$

Это квадратное уравнение:

$$D=(-2a)^2-4(a^2-b^2)=4b^2.$$

Тогда

$$x=\frac{2a\pm 2b}{2}=a\pm b.$$

Если $$a=-b,$$ то исходное уравнение не имеет смысла, так как знаменатели обращаются в нуль. Поэтому в этом случае корней нет.

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x-a}{x-b}+\frac{x-b}{x-a}+2=0.$$

ОДЗ: $$x\ne a,$$ $$x\ne b.$$

Умножим обе части на $$\left(x-a\right)\left(x-b\right):$$

$$\left(x-a\right)^2+\left(x-b\right)^2+2\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-2ax+a^2+x^2-2bx+b^2+2x^2-2(a+b)x+2ab=0,$$

$$4x^2-4(a+b)x+\left(a+b\right)^2=0.$$

Получаем

$$\left(2x-(a+b)\right)^2=0,$$

откуда

$$x=\frac{a+b}{2}.$$

Это значение подходит, если $$a\ne b.$$ Если $$a=b,$$ то исходное уравнение не имеет смысла.

Ответ

а) если $$a\ne -b,$$ то $$x=a\pm b$$; если $$a=-b,$$ то корней нет.

б) если $$a\ne b,$$ то $$x=\frac{a+b}{2}$$; если $$a=b,$$ то корней нет.