Упр.40 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 40. Существуют ли такие значения коэффициентов k и b, при которых линейная функция y=kx+b является а) чётной; б) нечётной; в) чётной и нечётной?

Рассмотрим функцию $$y=kx+b.$$

а) Чётная функция. Для чётной функции должно выполняться равенство $$f(-x)=f(x).$$ Тогда

$$k(-x)+b=kx+b.$$

Отсюда

$$-kx=kx,$$

значит, $$k=0.$$

При этом $$y=b,$$ то есть функция постоянная, а постоянная функция чётная.

Следовательно, такие значения коэффициентов существуют.

б) Нечётная функция. Для нечётной функции должно выполняться равенство $$f(-x)=-f(x).$$ Тогда

$$k(-x)+b=-(kx+b).$$

Получаем

$$-kx+b=-kx-b,$$

откуда

$$b=-b,$$

значит, $$b=0.$$

Тогда $$y=kx,$$ а это нечётная функция.

Следовательно, такие значения коэффициентов существуют.

в) Чётная и нечётная одновременно. Чтобы функция была и чётной, и нечётной, нужно одновременно иметь

$$k=0 \quad \text{и} \quad b=0.$$

Тогда $$y=0,$$ и эта функция действительно является и чётной, и нечётной.

Ответ

а) Да, при $$k=0$$; б) да, при $$b=0$$; в) да, при $$k=0$$ и $$b=0$$.