Упр.399 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите такие решения уравнения $$y^2-x^2=123$$, в которых значения $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа.
2. Решите уравнение относительно $$x$$: $$\frac{ax-2b^2}{b^2}=\frac{b^2-2a^3x}{a^3x}$$.

Рассмотрим уравнение

$$\frac{ax-2b^2}{b^2}=\frac{b^2-2a^3x}{a^3x}.$$

Чтобы дроби были определены, нужно, чтобы

$$a\ne 0,\quad b\ne 0,\quad x\ne 0.$$

Перемножим обе части уравнения на $$a^3xb^2$$:

$$\left(ax-2b^2\right)a^3x=\left(b^2-2a^3x\right)b^2.$$

Раскроем скобки:

$$a^4x^2-2a^3b^2x=b^4-2a^3b^2x.$$

Слагаемые $$-2a^3b^2x$$ сокращаются, получаем:

$$a^4x^2=b^4.$$

Тогда

$$x^2=\frac{b^4}{a^4},$$

откуда

$$x=\pm \frac{b^2}{a^2}.$$

Оба значения подходят, так как при $$a\ne 0$$ и $$b\ne 0$$ они не равны нулю.

Ответ

$$x=\pm \frac{b^2}{a^2},\quad a\ne 0,\ b\ne 0.$$