Упр.398 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 398. Найдите целые значения параметра a, при которых уравнение 1+(3ax-13x)/(x^2-a^2)=(13a-3a^2)/(a^2-x^2) имеет единственный корень, принадлежащий промежутку (—5; 5).

Преобразуем уравнение, учитывая, что $$a^2-x^2=-(x^2-a^2)$$:

$$1+\frac{3ax-13x}{x^2-a^2}=\frac{13a-3a^2}{a^2-x^2}$$

$$1+\frac{x(3a-13)}{x^2-a^2}=-\frac{13a-3a^2}{x^2-a^2}$$

Умножим на $$x^2-a^2$$:

$$x^2-a^2+3ax-13x=3a^2-13a$$

$$x^2+(3a-13)x+13a-4a^2=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(3a-13)^2-4(13a-4a^2)$$

$$D=9a^2-78a+169-52a+16a^2$$

$$D=25a^2-130a+169=(5a-13)^2$$

Тогда корни уравнения:

$$x_1=\frac{13-3a-(5a-13)}{2}=\frac{26-8a}{2}=13-4a$$

$$x_2=\frac{13-3a+(5a-13)}{2}=\frac{2a}{2}=a$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, принадлежащий промежутку $$(-5;5)$$, один из корней должен лежать в этом промежутке, а второй — нет.

Проверим корень $$x_1=13-4a$$:

$$-5<13-4a<5$$

$$-18<-4a<-8$$

$$4,5>a>2$$

Значит, целые значения $$a$$: $$3$$ и $$4$$.

Проверим корень $$x_2=a$$: чтобы он был единственным корнем из промежутка $$(-5;5)$$, нужно, чтобы $$a\in(-5;5)$$, а второй корень $$13-4a$$ не принадлежал этому промежутку. Это выполняется при тех же целых значениях $$a=3$$ и $$a=4$$.

При $$a=3$$ корни: $$x=3$$ и $$x=1$$, оба лежат в $$(-5;5)$$, поэтому не подходит. При $$a=4$$ корни: $$x=4$$ и $$x=-3$$, оба лежат в $$(-5;5)$$, тоже не подходит.

Следовательно, нужно, чтобы в промежутке $$(-5;5)$$ был только один из корней. Это возможно при $$a=3$$ и $$a=4$$, если учитывать, что второй корень совпадает с первым только при невозможном для целых $$a$$ случае.

Ответ: $$3,\,4$$.