Упр.397 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 397. Решите уравнение с параметром a: (x^2+1)/(ax-2)-a/(2-ax)=x.

Область допустимых значений: $$ax-2\ne 0,$$ то есть $$ax\ne 2.$$

Преобразуем уравнение:

$$\frac{x^2+1}{ax-2}-\frac{a}{2-ax}=x.$$

Так как $$2-ax=-(ax-2),$$ то

$$\frac{x^2+1}{ax-2}+\frac{a}{ax-2}=x,$$

$$\frac{x^2+a+1}{ax-2}=x.$$

Умножим на $$ax-2$$:

$$x^2+a+1=x(ax-2).$$

$$x^2+a+1=ax^2-2x.$$

$$ (1-a)x^2+2x+(a+1)=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=2^2-4(1-a)(a+1)=4-4(1-a^2)=4a^2.$$

Тогда

$$x=\frac{-2\pm 2a}{2(1-a)}.$$

Получаем корни:

$$x_1=\frac{-2-2a}{2(1-a)}=\frac{a+1}{a-1},$$

$$x_2=\frac{-2+2a}{2(1-a)}=-1.$$

Проверим особые значения параметра.

1) При $$a=1$$ уравнение принимает вид

$$\frac{x^2+1}{x-2}-\frac{1}{2-x}=x,$$

и после преобразований получается единственный корень $$x=-1.$$

2) При $$a=0$$ имеем

$$\frac{x^2+1}{-2}=x,$$

откуда $$x=-1.$$

3) При $$a=-2$$ корень $$x=\frac{a+1}{a-1}$$ даёт

$$x=\frac{-1}{-3}=\frac13,$$

и он удовлетворяет ОДЗ.

Для остальных значений параметра оба найденных корня допустимы.

Ответ

Если $$a=0$$ или $$a=1,$$ то $$x=-1.$$

Если $$a=-2,$$ то $$x=\frac{a+1}{a-1}.$$

При остальных значениях $$a$$: $$x=-1$$ и $$x=\frac{a+1}{a-1}.$$