Упр.394 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 394. При каких значениях параметра c уравнение x+1/x=c+1/c имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}.$$

Так как в уравнении есть дроби, то $$x\ne 0$$ и $$c\ne 0$$.

Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$cx$$:

$$cx\left(x+\frac{1}{x}\right)=cx\left(c+\frac{1}{c}\right)$$

$$cx^2+c=c^2x+x$$

$$cx^2-(c^2+1)x+c=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Найдём его дискриминант:

$$D=(c^2+1)^2-4c\cdot c$$

$$D=c^4+2c^2+1-4c^2$$

$$D=c^4-2c^2+1$$

$$D=(c^2-1)^2.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы дискриминант был равен нулю:

$$ (c^2-1)^2=0 $$

$$ c^2-1=0 $$

$$ c^2=1 $$

$$ c=\pm 1.$$

При этих значениях параметра уравнение действительно имеет единственный корень.

Ответ

$$c=-1,\;1.$$