Упр.385 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 385. Числа m и n являются корнями уравнения x^2+ax+b=0 с параметрами a и b. Составьте биквадратное уравнение с теми же параметрами, имеющее четыре корня: -m, -n, m и n.

По теореме Виета для уравнения $$x^2+ax+b=0$$, корнями которого являются $$m$$ и $$n$$, имеем:

$$m+n=-a,\qquad mn=b.$$

Нужно составить биквадратное уравнение, корнями которого будут числа $$-m,\,-n,\,m,\,n$$. Тогда его левая часть раскладывается так:

$$ (x-m)(x+n)(x-n)(x+m)=0. $$

Сгруппируем множители:

$$ (x^2-m^2)(x^2-n^2)=0. $$

Раскроем скобки:

$$ x^4-(m^2+n^2)x^2+m^2n^2=0. $$

Найдём $$m^2+n^2$$ через $$a$$ и $$b$$:

$$ (m+n)^2=m^2+2mn+n^2, $$

откуда

$$ m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=a^2-2b. $$

Также

$$ m^2n^2=(mn)^2=b^2. $$

Подставляем:

$$ x^4-(a^2-2b)x^2+b^2=0. $$

Ответ

$$x^4-(a^2-2b)x^2+b^2=0.$$