Упр.384 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x^4-(a+1)x^2+a=0; б) x^4-2ax^2+(6a-9)=0?

а) Рассмотрим уравнение

$$x^4-(a+1)x^2+a=0.$$

Сделаем замену $$t=x^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение

$$t^2-(a+1)t+a=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.$$

Тогда корни уравнения относительно $$t$$:

$$t_1=\frac{(a+1)-(a-1)}{2}=1,$$

$$t_2=\frac{(a+1)+(a-1)}{2}=a.$$

Чтобы исходное уравнение имело четыре корня, оба значения $$t_1$$ и $$t_2$$ должны быть положительными и различными:

$$1>0,\quad a>0,\quad a\ne 1.$$

Значит,

$$a\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$

б) Рассмотрим уравнение

$$x^4-2ax^2+(6a-9)=0.$$

Сделаем замену $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-2at+(6a-9)=0.$$

Дискриминант:

$$D=(2a)^2-4(6a-9)=4a^2-24a+36=(2a-6)^2.$$

Корни уравнения относительно $$t$$:

$$t_1=\frac{2a-(2a-6)}{2}=3,$$

$$t_2=\frac{2a+(2a-6)}{2}=2a-3.$$

Для четырёх корней нужно, чтобы оба значения были положительными и различными:

$$3>0,\quad 2a-3>0,\quad 2a-3\ne 3.$$

Отсюда

$$a>\frac{3}{2},\quad a\ne 3.$$

Следовательно,

$$a\in\left(\frac{3}{2};3\right)\cup(3;+\infty).$$

Ответ

а) $$a\in(0;1)\cup(1;+\infty)$$; б) $$a\in\left(\frac{3}{2};3\right)\cup(3;+\infty).$$