Упр.382 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) x^3+x=a^2x-a; б) x(x^2-1)-2a=2ax.
а) Преобразуем уравнение:
$$x^3+x=a^2x-a$$
$$x^3+x-a^2x+a=0$$
Группируем слагаемые:
$$x(x^2-a^2)+(x+a)=0$$
$$x(x-a)(x+a)+(x+a)=0$$
$$ (x+a)(x^2-ax+1)=0 $$
Отсюда:
$$x+a=0 \quad \text{или} \quad x^2-ax+1=0$$
1) $$x=-a$$
2) Для квадратного уравнения:
$$D=a^2-4$$
$$x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}$$
Чтобы корни были действительными, нужно $$a^2-4\ge 0$$, то есть $$|a|\ge 2$$.
При $$a=2$$ получаем корни $$x=1$$ и $$x=2$$, при $$a=-2$$ — $$x=-1$$ и $$x=2$$.
б) Преобразуем уравнение:
$$x(x^2-1)-2a=2ax$$
$$x^3-x-2a-2ax=0$$
$$x(x^2-1)-2a(x+1)=0$$
$$x(x+1)(x-1)-2a(x+1)=0$$
$$ (x+1)(x^2-x-2a)=0 $$
Отсюда:
$$x+1=0 \quad \text{или} \quad x^2-x-2a=0$$
1) $$x=-1$$
2) Для квадратного уравнения:
$$D=1+8a$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{1+8a}}{2}$$
Чтобы корни были действительными, нужно $$1+8a\ge 0$$, то есть $$a\ge -\frac18$$.
Ответ
а) Если $$|a|>2$$, то $$x=-a$$ и $$x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}$$; если $$a=2$$, то $$x=-2$$, $$x=1$$; если $$a=-2$$, то $$x=2$$, $$x=-1$$; если $$-2<a<2$$, то $$x=-a$$.
б) Если $$a<-\frac18$$, то $$x=-1$$; если $$a=-\frac18$$, то $$x=-1$$ и $$x=\frac12$$; если $$a>-\frac18$$, то $$x=-1$$ и $$x=\frac{1\pm\sqrt{1+8a}}{2}$$.
