Упр.381 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:
а) $$\frac{x^2-7x+12}{|x|-5}>0$$;
б) $$\frac{x^2-7x-8}{|x-6|}<0$$;
в) $$\frac{|x-5|+x}{x+3}>1$$;
г) $$\frac{|2-x|+5x}{x+2}<2$$.
Докажите, что уравнение $$x^2+bx+c=0$$ не имеет рациональных корней, если значениями параметров $$b$$ и $$c$$ являются целые нечётные числа.

Подробный ответ

Пусть $$b=2n+1$$ и $$c=2k+1$$, где $$n,k \in Z$$. Тогда уравнение имеет вид

$$x^2+(2n+1)x+(2k+1)=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(2n+1)^2-4(2k+1).$$

Преобразуем:

$$D=4n^2+4n+1-8k-4=4n^2+4n-8k-3.$$

Число $$4n^2+4n-8k$$ делится на $$4$$, значит при вычитании $$3$$ получаем число вида $$4m-3$$, то есть $$D \equiv 1 \pmod 4$$. Следовательно, $$D$$ — нечётное число.

Но квадрат рационального числа, если он является целым, должен быть квадратом целого числа. При этом квадрат целого числа не может быть числом вида $$4m-3$$. Значит, $$D$$ не является квадратом целого числа.

Следовательно, корни уравнения

$$x=\frac{-(2n+1)\pm \sqrt{D}}{2}$$

не могут быть рациональными.

Итак, уравнение $$x^2+bx+c=0$$ не имеет рациональных корней, если $$b$$ и $$c$$ — целые нечётные числа.