Упр.380 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:
   а) $$x^2-5|x+6|+34<0$$;
   б) $$x^2+|x-7|-13<0$$.
2. Докажите, что уравнение $$\left(a+b+c\right)x^2=2\left(a+b\right)x-a-b+c$$ имеет рациональные корни при рациональных значениях параметров $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Рассмотрим уравнение

$$(a+b+c)x^2=2(a+b)x-a-b+c.$$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$(a+b+c)x^2-2(a+b)x+a+b-c=0.$$

Это квадратное уравнение, где

$$A=a+b+c,\quad B=-2(a+b),\quad C=a+b-c.$$

Найдём дискриминант:

$$D=B^2-4AC=4(a+b)^2-4(a+b+c)(a+b-c).$$

Раскроем скобки:

$$D=4\bigl((a+b)^2-(a+b+c)(a+b-c)\bigr).$$

Так как

$$(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2,$$

то

$$D=4\bigl((a+b)^2-((a+b)^2-c^2)\bigr)=4c^2.$$

При рациональных значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$ число $$D=4c^2$$ также рационально, а его корень равен

$$\sqrt{D}=2|c|,$$

то есть тоже рационален. Следовательно, корни квадратного уравнения

$$x=\frac{2(a+b)\pm 2c}{2(a+b+c)}$$

являются рациональными числами при рациональных $$a$$, $$b$$, $$c$$ (если $$a+b+c\neq 0$$).

Если же $$a+b+c=0$$, то уравнение становится линейным и также имеет рациональный корень при рациональных $$a$$, $$b$$, $$c$$.

Ответ

Уравнение имеет рациональные корни при рациональных значениях параметров $$a$$, $$b$$ и $$c$$.