Упр.380 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 380. Докажите, что уравнение (a+b+c)x^2=2(a+b)x-a-b+c имеет рациональные корни при рациональных значениях параметров a, b и c.

Рассмотрим уравнение

$$ (a+b+c)x^2=2(a+b)x-a-b+c. $$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$ (a+b+c)x^2-2(a+b)x+a+b-c=0. $$

Это квадратное уравнение, где

$$ A=a+b+c,\quad B=-2(a+b),\quad C=a+b-c. $$

Найдём дискриминант:

$$ D=B^2-4AC=4(a+b)^2-4(a+b+c)(a+b-c). $$

Раскроем скобки:

$$ D=4\bigl((a+b)^2-(a+b+c)(a+b-c)\bigr). $$

Так как

$$ (a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2, $$

то

$$ D=4\bigl((a+b)^2-((a+b)^2-c^2)\bigr)=4c^2. $$

При рациональных значениях $a$, $b$ и $c$ число $D=4c^2$ также рационально, а его корень равен

$$ \sqrt{D}=2|c|, $$

то есть тоже рационален. Следовательно, корни квадратного уравнения

$$ x=\frac{2(a+b)\pm 2c}{2(a+b+c)} $$

являются рациональными числами при рациональных $a$, $b$, $c$ (если $a+b+c\neq 0$).

Если же $a+b+c=0$, то уравнение становится линейным и также имеет рациональный корень при рациональных $a$, $b$, $c$.

Ответ

Уравнение имеет рациональные корни при рациональных значениях параметров $a$, $b$ и $c$.