Упр.379 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 379. При каких значениях параметра p уравнение (1-p^2)x^2+2px-1=0 имеет два корня, принадлежащие промежутку (0; 1)?

Рассмотрим уравнение

$$ (1-p^2)x^2+2px-1=0. $$

Найдём дискриминант:

$$ D=(2p)^2-4(1-p^2)(-1)=4p^2+4-4p^2=4. $$

Следовательно, уравнение имеет два корня:

$$ x_{1,2}=\frac{-2p\pm 2}{2(1-p^2)}. $$

Упростим:

$$ x_1=\frac{-2(p+1)}{2(1-p)(1+p)}=\frac{1}{p-1}, $$

$$ x_2=\frac{2(1-p)}{2(1-p)(1+p)}=\frac{1}{p+1}. $$

Требуется, чтобы оба корня принадлежали промежутку $$(0;1).$$

Для первого корня:

$$ 0<\frac{1}{p-1}<1. $$

Из неравенства $$\frac{1}{p-1}>0$$ получаем $$p-1>0,$$ то есть $$p>1.$$

Из неравенства $$\frac{1}{p-1}<1$$ при $$p>1$$ имеем

$$ 1<p-1, $$

то есть

$$ p>2. $$

Для второго корня:

$$ 0<\frac{1}{p+1}<1. $$

Из $$\frac{1}{p+1}>0$$ следует $$p+1>0,$$ то есть $$p>-1.$$

Из $$\frac{1}{p+1}<1$$ при $$p>-1$$ получаем

$$ 1<p+1, $$

то есть

$$ p>0. $$

Чтобы оба корня были в промежутке $$(0;1),$$ нужно одновременно выполнить условия $$p>2$$ и $$p>0.$$

Итак,

$$ p>2. $$

Ответ

$$ (2;+\infty) $$