Упр.377 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения: а) $$x^4-6\lvert x^2-1\rvert-6=0$$, принадлежащие промежутку $$(-4;4)$$; б) $$x^4-10\lvert x^2-2\rvert-11=0$$, принадлежащие промежутку $$(-6;6)$$.
2. При каких значениях параметра $$a$$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2+ax=2x+a+3$$ равна $$18$$?

Приведём уравнение к стандартному виду:

$$x^2+ax=2x+a+3$$

$$x^2+(a-2)x-a-3=0$$

Пусть его корни равны $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=2-a,$$

$$x_1x_2=-a-3.$$

По условию сумма квадратов корней равна 18:

$$x_1^2+x_2^2=18.$$

Используем формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$(2-a)^2-2(-a-3)=18$$

$$(2-a)^2+2a+6=18$$

$$4-4a+a^2+2a+6=18$$

$$a^2-2a-8=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36,$$

$$a=\frac{2\pm 6}{2}.$$

Получаем:

$$a_1=-2,\quad a_2=4.$$

Ответ

$$-2;\ 4$$