Упр.373 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) ax^2-x=0; д) x^2-6x+a=0;
б) x^2+4a=0; е) ax^2+4x-2=0;
в) ax^2-6=3x^2-2a; ж) x^2-8x=c^2-8c;
г) px^2+16=4x^2+p^2; з) x^2-6x=a^2+6x.
а) $$ax^2-x=0$$
Вынесем $x$ за скобки:
$$x(ax-1)=0$$
Отсюда:
$$x=0 \quad \text{или} \quad ax-1=0$$
Если $$a\ne 0,$$ то
$$x=\frac{1}{a}.$$
Если $$a=0,$$ то уравнение принимает вид $$-x=0,$$ значит $$x=0.$$
б) $$x^2+4a=0$$
$$x^2=-4a$$
Чтобы были действительные корни, нужно $$-4a\ge 0,$$ то есть $$a\le 0.$$
Тогда
$$x=\pm 2\sqrt{-a}.$$
При $$a=0$$ получаем $$x=0.$$
в) $$ax^2-6=3x^2-2a$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ax^2-3x^2=6-2a$$
$$x^2(a-3)=2(3-a)$$
Если $$a\ne 3,$$ то
$$x^2=\frac{2(3-a)}{a-3}=-2.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ действительных корней нет.
Если $$a=3,$$ то получаем тождество $$-6=-6,$$ значит подходит любое число.
г) $$px^2+16=4x^2+p^2$$
Перенесём слагаемые:
$$px^2-4x^2=p^2-16$$
$$x^2(p-4)=(p-4)(p+4)$$
Если $$p\ne 4,$$ то
$$x^2=p+4.$$
Тогда:
при $$p<-4$$ корней нет;
при $$p=-4$$ получаем $$x^2=0,$$ значит $$x=0$$;
при $$p>-4$$
$$x=\pm\sqrt{p+4}.$$
Если $$p=4,$$ то уравнение превращается в тождество $$16=16,$$ значит любое число.
д) $$x^2-6x+a=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(-6)^2-4a=36-4a=4(9-a)$$
Тогда
$$x=\frac{6\pm\sqrt{4(9-a)}}{2}=3\pm\sqrt{9-a}.$$
Если $$a<9,$$ то два корня;
если $$a=9,$$ то $$x=3$$;
если $$a>9,$$ действительных корней нет.
е) $$ax^2+4x-2=0$$
Если $$a=0,$$ то
$$4x-2=0,\quad x=\frac12.$$
Если $$a\ne 0,$$ то
$$D=4^2-4\cdot a\cdot(-2)=16+8a=4(4+2a)$$
$$x=\frac{-4\pm\sqrt{4(4+2a)}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{4+2a}}{a}.$$
Для существования действительных корней нужно $$4+2a\ge 0,$$ то есть $$a\ge -2.$$
При $$a=-2$$ получаем один корень:
$$x=1.$$
ж) $$x^2-8x=c^2-8c$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2-8x+8c-c^2=0$$
$$D=64-4(8c-c^2)=4(c-4)^2$$
Тогда
$$x=\frac{8\pm 2(c-4)}{2}$$
$$x_1=8-c,\quad x_2=c.$$
з) $$x^2-6x=a^2+6x$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2-12x-a^2=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(-12)^2-4\cdot 1\cdot(-a^2)=144+4a^2=4(a^2+36)$$
$$x=\frac{12\pm\sqrt{4(a^2+36)}}{2}=6\pm\sqrt{a^2+36}.$$
Ответ
а) если $$a=0,$$ то $$x=0$$; если $$a\ne 0,$$ то $$x=0$$ и $$x=\frac1a$$.
б) если $$a>0,$$ корней нет; если $$a=0,$$ то $$x=0$$; если $$a<0,$$ то $$x=\pm 2\sqrt{-a}$$.
в) если $$a=3,$$ то любое число; если $$a\ne 3,$$ корней нет.
г) если $$p=4,$$ то любое число; если $$p=-4,$$ то $$x=0$$; если $$p<-4,$$ корней нет; если $$p>-4,$$ то $$x=\pm\sqrt{p+4}$$.
д) если $$a<9,$$ то $$x=3\pm\sqrt{9-a}$$; если $$a=9,$$ то $$x=3$$; если $$a>9,$$ корней нет.
е) если $$a=-2,$$ то $$x=1$$; если $$a=0,$$ то $$x=\frac12$$; если $$a>-2,$$ то $$x=\frac{-2\pm\sqrt{4+2a}}{a}$$.
ж) $$x=c$$ и $$x=8-c$$.
з) $$x=6\pm\sqrt{a^2+36}$$.
